고2 2022년 9월 모의고사 수학영역 손풀이
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2022년 9월 고2 손해설.pdf
2022학년도 9월 고2 전국연합학령평가 수학영역 문제지 (1).pdf
2022학년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답및해설 (1).pdf
안녕하세요, 해운대수학학원입니다.
오늘은 2022년 8월 31일에 실시되었던 2022학년도 9월 고2 모의고사에 대한 분석
4점 문항 위주로 시작해보겠습니다.
14. 현의 길이가 3 : 1 이므로 길이를 3k, k 로 잡은 뒤, 코사인법칙을 이용해 해결해줍니다.
15. k + 10번째 항까지의 합을 k번째 항까지의 합과 k + 1항부터 k + 10항까지의 합으로 쪼개서 이해하면 계산이 수월해집니다.
16. 사인함수는 원점에 대칭이므로 B의 좌표가 구해지면 자동적으로 C의 좌표도 구해집니다.
17. 막상 그려보면 그래프가 딱히 필요가 없네요,.. 식이 다 주어져있으므로 주어진 식을 계산만 잘 해주면 쉽게 해결이 됩니다.
18. f(x)와 y = 3k 의 교점 개수를 g(k), f(x)와 y = k 의 교점 개수를 h(k)로 두고,
g(k)와 h(k) 그래프를 그려서 관찰하면
| g(k) - h(k) | = 3 인 k는 2/9 하나 뿐입니다.
그 후, f(x) = 2/9 의 실근은 y = f(x) 와 y = 2/9 의 교점으로 구해줍니다.
이 때, 삼각함수의 대칭성을 이용해 교점들은 x = pi/4 에 대칭임을 이용하면 더욱 간단히 계산이 됩니다/
19. 지수함수와 로그함수가 역함수 관계이고 기울기가 -1인 직선과의 교점이 A, B 이므로 A, B 는 서로 y = x 에 대칭임이 확인가능합니다.
OA = OB 임을 이용해 계산하면 쉽게 해결이 됩니다.
20. 사인법칙에서, sinB 와 sinC 를 반지름 R에 관한 식으로 표현하면
a = √3 × R 의 식이 나오게 되고, 사인법칙을 통해 ∠BAC = 120° 임을 확인할 수 있습니다.
이후, AP길이를 x로 두면 삼각형 ABC 넓이는 삼각형ABP 넓이와 삼각형 ACP넓이의 합과 같다로 해결하는 단골유형의 문제로 바뀝니다.
21. (가) 조건과 a > 0 을 통해, a = 6d 를 얻어냅니다.
이제 an과 bn의 일반항이 나왔고, 그 수열들을 나열해서 cn = |an| - |bn| 수열을 관찰해보면
4항부터 공차가 -d인 등차수열이 나타남을 확인할 수 있습니다.
모든 n에 대해 Sn이 108 이하인데 Sp가 108이라 했으므로 Sn = 108 이 되는 n이 존재하고 그 때가 최대입니다.
최대일 때는, cn 수열이 음수로 바뀌기 직전인 12항과 13항일 때 입니다.
즉, S12와 S13은 최댓값 108을 가지게 되고, 54d = 108 을 통해 d = 2 를 얻어낼 수 있습니다.
Sn이 0 이상을 만족하는 최댓값을 구하려면 cn 수열을 나열해 관찰해보면 22항까지가 양수이고 23항부터는 3d + 6d 가 -10d 보다 작기 때문에 음수임을 확인할 수 있습니다.
따라서 22항까지가 양수이고 m= 22 이므로, 구하고자 하는 a22 = 27d = 54 가 나오게 됩니다.
26. 주어진 함수를 적당히 변형하면 쉽게 해결이 됩니다.
27. g(x) 이차함수를 t로 치환하여 f(t) 그래프의 최대 최소를 구해내면 쉽게 해결이 됩니다.
28. n이 홀수인 경우와 짝수인 경우로 나누어줍니다.
n이 홀수인 경우는 f(n)은 무조건 1이므로 n이 짝수인 경우만 고려해주면 됩니다.
이차함수가 17/2에 대칭이므로 x축과의 교점이 모두 짝수인 경우는 존재하지 않습니다.
그러므로 f(짝수)는 0 or 2 의 값을 가지게 됩니다.
이를 만족하는 경우를 조사해보면 f(4)는 양수이고 f(5)는 음수인 경우로 해결이 됩니다.
29. f(x)는 x = 2m 을 제외하고는 다항함수이고 g(x) 역시 x = m + 1 을 제외하고는 다항함수이므로 연속입니다.
따라서 극한값이 존재하지 않는 경우는 2m과 m + 1 밖에 없으므로 α = 2m, β = m + 1 임을 얻어냅니다.
이 때, 만약 2m과 m + 1 이 같지 않다면 f(x)가 x = 2m 에서 좌극한 우극한 값이 다른데 g(x)는 x = 2m 에서 좌극한과 우극한이 같으므로 f/g 함수는 x = 2m 에서 극한값이 존재하지 않아 (나) 조건을 만족하지 못합니다.
따라서 2m과 m + 1 은 같아야 하므로 m = 1 임을 얻어냅니다.
여기서, g(x)는 x가 2 이하인 범위에서 함수가 a(x - 1) 인데, (나) 조건에 의해 x = 1 에서 f/g 함수는 극한값이 존재해야하므로 분모는 극한값이 0이므로 분자의 극한값인 lim x → 1 f(x) 역시 0이 되어야 합니다. 여기서, a는 -1 또는 2의 값을 얻어냅니다.
마지막으로 x = 2 에서 좌극한과 우극한 값이 같은지 확인하기 위해 a = -1 과 a = 2 를 대입해보면 a = 2 인 경우만 성립함을 알 수 있습니다.
30. 주어진 함수를 변형시켜보면 절댓값을 포함한 코사인에 관한 이차식이 나오게 됩니다.
cos(npix)를 t라고 치환하면 t의 범위는 -1부터 1까지이고 t에 관한 이차식으로 바뀌게 됩니다.
절댓값이 0이 되는 값을 기준으로 그래프를 그려보면 복잡하지만 ....
위와 같은 그래프가 그려집니다.
이 때, n = 2 의 경우는 y = -k / 4 와 주어진 함수와의 교점을 구하는데, 코사인을 t라고 치환했으므로
f(t) 함수와 y = -k / 4 의 교점의 x좌표를 a로 두면 cos2pix 와 y = a 의 교점의 개수가 a2의 값입니다.
이 때, f(t) 함수와 y = -k / 4 의 교점이 2개 이상이 존재하면 a2는 6을 넘게 되므로 0 < a2 < 6 이라는 조건에 맞지 않습니다. 따라서, 교점은 1개가 되어야 하므로 그 때의 k값은 4가 나오게 됩니다.
k = 4 를 대입해 f(t) 를 구해내고, a2 구하는 방법만 정확히 이해했다면 나머지 a1 ~ a5 의 값은
그래프를 통해 충분히 구해낼 수 있습니다.
★총평 : 전체적으로 평이한 문제들이 많았지만 고난도 킬러문제들은 상당히 까다로웠습니다.
29, 30번은 생각을 많이 해야 할 문제이고, 특히 30번 문항은 상당히 시간이 많이 걸려 시간 내로 풀기란 굉장히 힘들었을 것으로 예상이 됩니다.
30번을 제외한 나머지 문항들은 충분히 도전해 볼 만하니 다시 시도해 보는 것도 좋을 것 같습니다!!
오늘도 수고하셨습니다.
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