[칼럼] 모르면 고3 때 멘탈 갈리는, 고1 경우의 수 개념

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생명수 공통수학1-잇달아 선택하기.pdf

안녕하세요. 생명수 공통수학I 저자 신원준입니다. 오늘은 대충 넘어가면 고3 확통 공부할 때 멘탈 갈리는 고1 경우의 수 개념 하나를 소개드리려 합니다.

바로 “잇달아 택하는 상황”과 관련된 개념입니다.

시중에 있는 대다수의 개념서는 “잇달아 택하는 상황”을 다음과 같이 설명합니다.

이 설명은 특정 집단에서 “택하는 개수”에만 주목하고 있으나, 이는 반쪽짜리 설명에 불과합니다. 예를 들어, 이 설명을 마르고 닳도록 체화한 학생이 아래의 두 문제를 어떻게 풀지 예상해 보겠습니다. (본인도 이렇게 풀 생각을 했다면 이 글을 집중해서 읽어주시길 바랍니다.)

Q1. 남자 6명 중에서 2명으로 이루어진 두 경기팀을 뽑는 경우의 수는?

이 문제의 경우, 위 개념을 적용하기 위해 남자 6명 중 4명을 먼저 뽑는다면( ) 잇달아

뽑은 남자 4명을 2명, 2명의 두 묶음으로 나누는 방법의 수

= 서로 다른 4개를 2개, 2개의 두 묶음으로 나누는 방법의 수

를 세면 됨을 알 수 있죠. 위 설명의 ②번 경우를 적용하여 계산해봅시다.

정답입니다! 그럼 다음 문제에도 잘 적용되는지 확인해볼까요?

Q2. 남자 3명과 여자 3명 중 남자 2명과 여자 2명을 뽑는 경우의 수는?

Q1도 사실상 6명 중 2명, 2명을 뽑는 상황이었고 이 문제도 사실상 6명 중 2명, 2명을 뽑는 상황이니 Q1과 비슷하게 계산하면 될 듯 합니다.

남자 3명 중 2명, 여자 3명 중 2명을 뽑고 Q1처럼 을 곱하면

이 되고, 이렇게 생각하셨다면 이 글을 반드시 끝까지 읽으셔야 합니다.... Q2의 경우 Q1와는 달리 을 곱하면 안 됩니다. Q2는 Q1과는 다르게, 서로 다른 집단에서 택하는 상황이기 때문입니다.

이는 경우의 수를 처음 공부한다면 상당한 어려움을 겪는 부분인데요, 그 원인은 바로

시중 교재들은 우리말로 이해해야 하는 개념을 추상적인 수식으로 서술해두었고,

학생들은 그 추상화된 수식을 우리말로 번역할 능력이 부족하기 때문

입니다. 실제로 “잇달아 택하는 상황”은 “택하는 개수”뿐 아니라 “집단의 이질성 여부”까지 고려하여 다음과 같이 3가지 상황으로 나누어 기억해두어야 합니다.

1. 같은 집단에서 같은 개수로 택할 때는 중복되는 경우가 발생한다. ★
-> 만든 덩어리의 개수를 이라 하면 을 하여 중복을 제거해야 한다.

2. 다른 집단에서 같은 개수로 택할 때는 중복되는 경우가 발생하지 않는다.

3. 같은 집단 혹은 다른 집단에서 다른 개수로 택할 때는 중복되는 경우가 발생하지 않는다.

(이에 대한 자세한 설명을 원하시는 분은 첨부 파일(생명수 공통수학1-잇달아 선택하기)를 참고해주세요.)

이를 바탕으로 생각해보면 Q1의 경우 남자라는 “같은 집단”에서 “같은 개수”인 2명만큼을 잇달아 택하는 상황이므로 을 추가하여 중복을 제거해야 하고, Q2의 경우 남자와 여자라는 “다른 집단”에서 “같은 개수”인 2명만큼을 잇달아 택하는 상황이므로 중복이 발생하지 않아 을 추가하면 안 되는 것이죠.

오늘 말씀드린 “잇달아 택하는 상황”은 내신뿐 아닌 수능 확통에도 출제되는 중요한 개념이니 이번 기회에 잘 챙겨두시길 바랍니다.