[칼럼] 근의 분리 문항, 왜 어떤 문제는 판별식이 필요 없을까?
게시글 주소: https://orbi.kr/00077917303
맛보기_생명수 공통수학1.pdf
안녕하세요, 생명수 공통수학 저자 신원준입니다.
오늘은 고1 수학에서 가장 중요하다고 소문난, 근의 분리 문항에 대해 이야기해 보려고 합니다.
혼자서 선행을 해 본 적이 있다면, 혹은 학원 수업을 들었더라면 근의 분리의 상황은
① 경계의 함숫값② 판별식③ 대칭축 위치
이 3가지를 따져 푸는 것이라고 배운 바 있을 겁니다. (또는 그렇게 배우게 될 것입니다.)
실제로 가장 대표적인 근의 분리 문항을 하나 살펴볼까요?
이 문항에 대한 시중 대부분 개념서에 수록된 풀이는 다음과 같습니다.
배웠던 대로 판별식, 경계의 함숫값, 대칭축 위치를 이용하여 풀었네요. 배웠던 내용이 이 문제에서 잘 먹히니 조건이 조금 달라진 문제도 한 번 살펴봅시다.
시중 개념서를 잘 공부한 학생이라면 방금 문제와 똑같이 경계의 함숫값, 판별식, 대칭축 위치를 이용하여 문제를 잘 해결했을 겁니다. 이제 잘 풀었는지 확인하기 위해 풀이를 봐볼까요?
??? 왜 이번에는 판별식, 대칭축 위치는 고려하지 않는 것이죠?
어떻게 경계의 함숫값만 고려했는데 답이 나온 걸까요?
해설을 쓴 사람은 어떤 생각을 바탕으로 판별식과 대칭축은 고려하지 않아도 되겠다고 판단한 것일까요?
여러 가지 의문이 교차하기 시작합니다.
결국 의문을 해소하지 못하고 두 근 사이에 상수가 있을 때는 함숫값 조건만 쓰는 걸로 대충 외우고 넘어간다면, 몇 페이지 지나지 않아 다음 문항을 만나는 순간 멘탈이 나가게 될 것입니다.
이런 경험 있지 않으신가요? 이렇듯 많은 학생들이 근의 분리 문항을 완벽하게 풀지 못하는 이유는
근의 분리 상황을 다룰 때 반드시 해야 하는 생각을 학습하지 못했기 때문
입니다.
그럼 그 생각이 도대체 무엇이냐? 바로 경계의 함숫값, 판별식, 대칭축 위치를 고려하여 조건식을 하나씩 작성할 때마다 반드시 해야만 하는, 다음과 같은 생각입니다.
★“방금까지 쓴 조건식만으로, 내가 목표로 하는 그래프가 반드시 그려지나?”★
이를 바탕으로 Q1과는 달리, Q2의 문항을 풀 때 판별식과 대칭축의 위치는 고려하지 않고 경계의 함숫값만 고려해도 상관없는 이유를 함께 생각해 볼까요?
Q2의 문항이 원하는 그래프는 다음과 같은 모양임은 쉽게 알 수 있습니다.
이제 그래프를 통해 f(3)<0임을 쓴 다음
★“f(3)<0만으로 내가 목표로 하는 그래프가 반드시 그려지는지”★
생각해본다면, f(3)이 x축보다 아래쪽에 있기 위해서는 아래로 볼록한 이차함수 f(x)가 반드시 x축과 교점 2개를 가지게 됨을 파악할 수 있고 이렇게 되면 우리가 원했던 그래프가 반드시 그려지게 되므로
“판별식, 대칭축의 위치 다 필요없이 f(3)<0만으로 충분함”
을 스스로 도출해낼 수 있는 것입니다.
(근의 분리 문항에 대한 자세한 풀이가 궁금하신 분들은 첨부파일을 참고해주세요!)
근의 분리에서 자꾸 막히는 이유는 문제를 적게 풀어서가 아니라, 조건을 쓸 때마다 그래프가 실제로 어떻게 강제되는지를 생각하는 연습이 부족했기 때문일 가능성이 큽니다.
그래서 어떤 문제에서는 판별식까지 쓰고, 어떤 문제에서는 함숫값만 쓰고, 또 어떤 문제에서는 갑자기 전혀 다른 판단이 필요한 것처럼 느껴지는 겁니다. 비슷한 문항은 외워서 버틸 수 있어도, 결국 조금만 비틀리면 바로 흔들리게 되죠.
저는 이런 답답함을 줄이고 싶어서 생명수 공통수학 시리즈를 만들었습니다.
근의 분리처럼 겉보기엔 유형 같지만, 사실은 생각의 힘이 필요한 단원에서 막연한 암기 대신 분명한 기준을 잡고 싶은 학생들에게 이 책이 좋은 길잡이가 되었으면 합니다.
다음 글에서는 많은 학생들이 생각보다 어려워하는 경우의 수를 주제로 한 게시글로 돌아오겠습니다. 긴 글 읽어주시어 감사합니다.
생명수 공통수학I 예약구매는 아래 링크에서 하실 수 있습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
#07년생#08년생#독학생 오르비의 주인이 될 기회 37 40
-
고양이 텀블러 마개 삼 0 0
개귀여워
-
얼버기 1 0
어제 집중을 못해씀 오늘은 더 집중 해보겠씀
-
읭 1 0
어케 텀블러 뚜껑만 잃어버릴 수가 잇디읭진짜 읭인데읭..?
-
피곤스 1 0
...
-
ㅈㄴㄱ
-
38일차 (4월 3일 금요일) 밀린 약속들을 처리하며 일단 부족한 잠을 보충해 준...
-
반갑다. 8 2
-
180 넘는 사람들아 1 0
님들 여자 키 몇이 제일 좋음? 난 155~175면 노상관
-
일어나일어나얼른일어나 2 2
-
기차지나간당 0 0
부지런행
-
tiktok.com/8Wx9CdNm 현재 틱톡에 영상 박제되서 안지워지는중ㅋㅋ
-
생각머리없는 존예녀어때 0 0
사람은 착한데 생각이 짧아 사귈만한가?
-
또 불켜놓고 바지벗고 잤네 3 1
이러면 수면의 질이 미세하게 떨어지던데
-
얼버기 2 1
제자야 기상해라
-
오늘 수업 못가겟다 4 1
못일어날듯 ㅇㅇ 비도오고 하루만 빠질게여 교수님
-
김범준 강기원 1 0
범바오 인강으로 스블 허들링 듣고 N제 풀다가 서바때 아프리카반으로 강기원...
-
정수기 vs 생수 3 1
어느거 선호함
-
원칙은 0 0
손해를 감수하며 지킬 때 의미가 있다 -안철수
-
tiktok.com/8Wx9CdNm 현재 틱톡에 영상 박제되서 안지워지는중ㅋㅋ
-
tiktok.com/8Wx9CdNm 현재 틱톡에 영상 박제되서 안지워지는중ㅋㅋ
-
내 메인글 ㅁㅌㅊ 1 0
수정한거 아님
-
인생에서 진짜 0 0
스카이다이빙은 꼭 한 번은 해봐야지
-
이세상에 고자극이 너무 많아 0 0
ㅅㅂ 배달음식 끊어야지
-
제이플라 4 0
노래 너무 잘 부르심
-
삶의 의미 찾기 0 0
이게 진짜 미적 30보다 어려운 킬러문제임
-
좋아요 8개가 메인을 안 가네 4 1
아쉽다 https://orbi.kr/00078126770
-
자극을 줄여야 성공하는데 ㅅㅂ 0 0
ㅅㅂ
-
난 술자리 갈 때 1 0
스포이드 준비해가서 한 방울씩 마심
-
맥주 냄새만 맡아도 2 0
만취함
-
서강대 진짜 갔어야하는데 1 0
그럼 지금처럼 압박감도 없었을텐대
-
한양대 공대도 못가면 0 0
걍 시발 쉬엇음청년으로 전직해버릴듯
-
인생 수준 1 0
ㅉ
-
너의사랑만이 0 0
이세상에서 살아가는 이유였는데
-
Kiss kiss kiss 0 0
솔직히 좋으면 ㄱㅊ
-
닐 암스트롱 명언 1 0
달에 첫발을 내딛으며 오수를 해서라도 서울대에 가라 라고 말한것은 유명한 사실임
-
뜌땨 1 0
-
오리는 날수없음 1 0
사실 제트팩을 달면 날수있음
-
ㅇㅇ
-
우리 사이 공백
-
에휴우
-
님들도 1 0
다른 사람에겐 챔피언처럼 보일거임
-
공부 싫은 사람 1 0
집 주변 전문대 ㄱㄱ 여긴 분위기가 고등학교랑 똑같음 걍
-
무섭지 않다 그러나 한가지 발차기를 천반 한 사람은 무섭다
-
진짜잠 1 0
자잘
-
하거나 말거나 0 0
해본다는건 없다
-
tiktok.com/8Wx9CdNm 현재 틱톡에 영상 박제되서 안지워지는중ㅋㅋ
-
이찬혁 2집 쭉 들어봤는데 0 1
멸종위기사랑 빼고 다 그냥저냥이네 사운드는 매력적인데 멜로디는 내 귀엔 안감기네
-
내일은 0 0
할리스커피에서 과제를 해야지
-
오늘은 한 3 0
6시는 돼야 잠 오겠는데
-
수학 개념 다 까먹었는데... 2 0
아니 5개월 쉬었다고 수학 개념 디테일을 다 까먹었네요 하......
x^2=2k(x-2)
Q. 3은 f(1)f(3)<0을 검토하는 것으로 충분하겠네요.
Perfect.
아 말씀주신 경우는 두 근 중 하나만이 1, 3 사이에 있는 상황이고 추가로 두 근 모두 1, 3 사이에 있는 상황도 살펴야 합니다 :) (‘적어도’란 말을 빼먹고 생각했네요 허허)
아하 그럴수도 있겠네요. 고1수학도 생각할게 많은 것 같습니다 ㅋㅋㅋ
그렇죠. 저런 부분들이 다 함수 추론의 기초가 되는 부분이니..
오 출판되면 사야겠다
좋게 봐주시어 감사합니다 ㅎㅎ 분명 후회하지 않으실 것이라 장담합니다!
공수 기억에서 사라질지경
그래프딸깍 함판축딸깍을 잘 명시지화 해놓은 것 같읍니다.지금은 머릿속에 그래프 떠올려보면 딸깍이지만 처음 공부할 때는 상당히 스트레스 받으며 공부했던 기억이 있읍니다..
Q3은 그럼 어떻게 해결하나요? 두근이 전부 1,3 사이에 있을때, 둘 중 하나만 1,3 사이에 있을때 케이스 나누는걸까욥?
네 일단 그렇게 케이스를 나누고 생각하다보면 f(1), f(3)이 각각 +, - or -, +이어야 한다는 점을 생각할 수 있고 이 두 상황을 포괄하여(동치식인) f(1)f(3)<0이어야 한다는 한 줄만 쓰면 되는 문항입니다!
후자의 경우는 그러하고, 전자의 경우까지 고려하여 정리하면
Case1) 두 근 중 하나만이 1, 3 사이에 있는 경우
-> f(1)f(3)<0 ••• ㄱ /
Case2) 두 근 모두 1, 3 사이에 있는 경우
-> f(1)>0, f(3)>0, (판별식)>=0, 1<(대칭축)<3 ••• ㄴ
/ ㄱ, ㄴ을 계산한 범위 모두 답이 됩니다 + 특수하게 두 근 중 한 근이 3인 경우, 즉 k=11/5인 경우도 조건을 만족합니다 :)
답변 감사합니다
올해 수1,수2,확통 책도 나오나요아쉽지만 현재 공통수학 시리즈를 우선 출간한 후 대수/미적분1/확통은 그 이후에 시장 반응을 보고 제작할 계획이라 올해 안에는 출간이 어려울 것 같습니다 ㅠㅠ
Q2에서 k>9/2 아닌가요?
아 맞습니다 부등호 오타 났네요ㅠㅠ k>9/2입니다!
수록된 문제 난이도는 시중 문제집과 비교하면 어느정도인가요?
쎈B단계 정도 문항이 대부분이고, 일부 문항은 교과서 발전 문제 or 기출 4점 초중반 난이도라고 봐 주시면 되겠습니다! 본교재를 구매한 학생들이 공통수학1을 인생에서 처음 공부하는 학생이라 가정하고 책을 저술하여서 문제 난이도는 그리 어렵지 않습니다 :)
감사합니다 알라딘에서 구입완료하였습니다 어서 배송되었으면 좋겠네요
헉 감사합니다 ㅠㅠ 분명 후회 없는 선택 되실 겁니다!! 혹시 본 교재로 공부하시다 학습과 관련하여 궁금하신 점 있으시면 오르비 쪽지 주세요 ㅎㅎ 바로 답변 드리겠습니다!