체인룰에서 dx가 약분이되는 이유

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깨달아버렸다..

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anohi [1242074]

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꺾이지 않는 마음 · 1193639 · 9시간 전 · MS 2022

으흐흐

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anohi · 1242074 · 9시간 전 · MS 2023

라이프니츠 표기법이 천재적인 이유

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응애... · 1233158 · 9시간 전 · MS 2023

설명해주새요

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anohi · 1242074 · 9시간 전 · MS 2023

먼저 벡터의 정의부터 시작해야하는데, 다음 조건을 만족하는 집합 V의 원소를 벡터라고 부릅니다: 집합 V의 임의의 원소에대해 V의 원소 중 항등원이 존재하고, 역원이 존재하며, 임의의 세 원소끼리의 연산에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하고, 임의의 두 원소에 대해 스칼라 곱이 분배법칙과 결합법칙이 성립하며 1이 항등원이어야합니다. 설명이 길지만 여기서 얻을 수 있는 것은 함수도 벡터의 정의를 만족한다는 것입니다.

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anohi · 1242074 · 9시간 전 · MS 2023

또한 선형 변환이라는 것도 알아야하는데, 입력과 출력이 모두 벡터공간의 원소이면서 선형성을 가진 함수입니다. 즉, 벡터 u,v와 스칼라 a, b에 대해 F(au+bv)=aF(u)+bF(v)이면 선형변환입니다. 선형 변환은 행렬로 나타낼수 있고, 선형변환의 합성은 행렬곱으로 나타납니다. (전자는 필요하면 따로 증명을 찾아보실 수 있고, 후자는 전자가 선행된다면 직관적입니다) 그런데 미분도 선형성을 만족하고, 함수도 벡터이니까 미분은 선형변환입니다.

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anohi · 1242074 · 9시간 전 · MS 2023 (수정됨)

합성함수 미분, 즉 체인룰은 dz/dy*dy/dx에서 dy약분하기로 증명하는 것이 아니라, 선형 근사를 하고 오차항이 0으로 간다는 것을 이용해 증명하는데요. 일단 체인 룰을 증명을 하고 나면 합성함수 미분은 두 미분의 합성, 즉 선형 변환의 합성이라는 결론을 얻을 수 있습니다. 그런데 고등학교에서 흔히 배우는 실수에서 실수로 가는 함수의 미분은 1*1 꼴의 행렬입니다(dy/dx, 하나만 있으니 1*1이죠? 만약 입출력의 차원이 2*2꼴이라면 미분도 2*2로 나타나게 되는데, 다변수 미분을 찾아보시면 됩니다). 그리고 1*1 꼴의 행렬간의 행렬곱은 당연히 그냥 단순 곱셉입니다. 여기서, 라이프니츠의 표기법이 마치 'dz/dy*dy/dx에서 dy약분'이 가능한 것처럼 보이도록 만든 겁니다. 즉 dy가 약분되는 것은 라이프니츠 표기법의 설계입니다.

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응애... · 1233158 · 8시간 전 · MS 2023

오

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