[이동훈t] 5월 수학 심층분석 (전문항)

Question

2026 이동훈 기출 https://atom.ac/books/12829 안녕하세요. 이동훈 기출문제집의 이동훈 입니다. 오늘은 5 월 학평 수학 분석 시간을 가져보겠습니다. 5월 학평은 ... 군더더기 없이 잘 만들어 문제들로 구성된 수준급 모의고사 라는 생각이 듭니다. 각 문제들의 레퍼런스가 명확하기 때문에 여러분의 학습 성취 정도를 평가하는데 적합하다 라는 생각이 들고요. 다만 수험생 입장에서는 ... 계산 분량이 적은 최적화 된 풀이를 찾는 것이 쉽지는 않았을 것입니다. 이렇게 잘 만들어진 모의고사는 단순히 답을 구하는 것에 만족하지 말고 ... 출제의 근거가 되는 이론과 기출을 찾아서 분석하고, 내 풀이가 가장 최적의 풀이인가를 고민해 보아야 겠습니다. 본론 들어가시기 전에 ... 아래의 두 글도 학습에 참고하시고요. [이동훈t] 2028 예시문항 수학 해설지 + 감상평 https://orbi.kr/00072931687 [이동훈t] 기출 구조 분석 (251121) https://orbi.kr/00072572001 자 ~ 이제 본론 들어가실까요 ? 아래는 풀이의 일부를 포함하고 있으므로 시험지 오답을 끝내고 읽기 바랍니다 ! 지수법칙 1번에서 (a^b)^c = (a^c)^b 이 공식을 출제한 건 오래간만 이네요. 도함수 + 미분계수의 정의 등비수열 + 이차방정식 함수의 극한 (좌극한, 우극한) 곱한 함수의 미분법 삼각함수의 정의 + 식 간단히(s^2+c^2 = 1) 삼차함수의 극대극소 + 이차방정식의 근의 분리(판별식) + 부정적분의 정의 로그함수가 포함된 이차부등식 + 치환 (t=|x|) 마지막 단계에서 부등식 2 <= |x| <= 4 을 풀 때에는 함수 y=|x| 의 그래프의 개형을 그리는 편이 낫습니다. (낮은 레벨 분들 중에서 그냥 2 <= x <= 4 이렇게 해버리는 분들이 있는데. 그림 그리면 해결 됩니다.) 정적분이 포함된 항등식 + 항등식의 정의 + 정적분의 계산 항등식의 정의의 관점에서 주어진 등식을 보면. 주어진 등식의 좌변의 상수항이 0 이므로 우변의 상수항도 0 이다. 따라서 붉은 칸 안의 값이 0 이 되어야 하고요. (또는 x=0 을 대입하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.) 붉은 상자 안의 정적분을 할 때, f ' (t) 를 유도하면 돌아가는 것이고 ... f(1)-f(0) = 3 이 바로 보여야 합니다. 마지막은 정적분의 계산으로 마무리. 교과서 연습문제 수준의 전형적인 문제이지만. (1) 항등식의 정의 (미정계수, 대입) (2) 정적분의 정의 이 두 가지를 정확하게 이해하고 있는가를 평가하고 있습니다. 수열의 합과 일반항 + 등차수열의 차수(항등식) 수열의 합에서 일반항을 유도할 때, an = Sn - Sn-1 (n>=2), ----(*) a1 = S1 의 두 경우로 나누어 생각해야 하고, (*)에서 유도된 등식에 n=1 을 대입해서 등호가 성립하는지를 확인해야 합니다. an*bn = (일차식)*(일차식) 에서 an, bn 의 방정식을 정할 때, d를 어떤 값으로 두는가에 따라서 무한히 많은 해가 가능하지만. 문제에서 모든 항이 자연수라는 조건을 주었으므로 두 개의 해만이 가능합니다. 이에 대해서는 아래의 평가원 문제에서 이미 연습한 바 있고요. 위의 문제에서는 두 합의 곱 (4차식)을 다루고 있지만 공차를 어떤 값으로 둘 것인가 ? 라는 아이디어는 동일 합니다. 그 외에도 이와 유사한 문제들은 기출 중에 꽤 있는 편이지요. 위치 - 속도 - 가속도 에 대한 교과서 연습문제 첫 번째 관문. 위의 세 가지 기하적 상황이 동시에 파악되어야 하고 ... (1)+(2) 맨 처음 t 의 값을 구할 때, 두 직각삼각형의 닮음의 관점으로 접근해도 좋고, 세 점 O, A, B 가 한 직선 위에 있다. 로 접근해도 좋음. (2) k = 3*log_a 2 를 유도할 때, 점 A가 두 곡선의 교점임을 이용. 즉, 두 곡선의 방정식을 연립. (3) 삼각형 ABC 의 넓이가 2 또는 삼각형 OBC 의 넓이가 4 어느 쪽을 이용해도 좋고. (2)와 연립하면 a, k 의 값을 구할 수 있음. 세 개의 상수 t, a, k 의 값을 모두 구해야 하고, 등식의 개수도 적지 않기 때문에 ... 어떤 식을 먼저 연립하는가에 따라서 시행착오의 횟수가 많아질 수 있는 문제. 이런 문제는 풀고 나면 어렵지 않지만 시험장에서는 시간을 까먹는 원인이 될 수도 있음. 문제풀이가 충분한 분들의 경우에는 t 의 값을 구하는 것으로 풀이를 시작임이 보일 텐데... 이 정도가 되려면 많이 풀고, 정리해야 함. 수평화와 정적분 + 꼭짓점이 주어진 이차함수의 방정식 + 이차함수의 정적분(대칭축/대칭성) + 식의 기하적 해석 수평화와 정적분에 대한 전형적인 문제입니다. 출제자 분은 아래의 그림을 종이에 그려놓고 문제 구성을 시작하셨을 것으로 생각합니다. 위와 같이 수평화된 그림을 그리고 나면 ... 문제에서 주어진 식 S2 - 2*S1 = 6 을 다음과 같이 변형하게 됩니다. S1 - S2 + S1 = -6 S1 - 1/2 * S2= -3 즉, 함수 g(x)=f(x)-(x-3) 의 구간 [0, 3] 에서의 정적분은 -3 이다. 이처럼 문제에서 주어진 등식의 기하적인 의미를 완전하게 파악한다면 계산은 한 줄 입니다. 그렇지 않고 ... 그냥 계산으로 비비다 보면 계속되는 시행착오에 당황하게 되고 ... 뒤에 오는 난문들을 해결할 시간이 삭제되겠지요. 2026 이동훈 기출 수학2 유형별 개념에 수평화에 대해서 자세히 설명하였고요. 아래는 레퍼런스가 되는 기출. 위의 문제에 아래와 같은 그림을 결합한 것으로 보면 될 것 같군요. 여하튼 ... 공부할 것이 많이 문제입니다. 수능 만점을 노린다면 ... 이런 이론들까지 꼼꼼하게 마스터 해야 겠습니다. ＆ 문제는 분해해서 보는 능력까지 갖춘다면 더 좋겠지요. 위의 문제는 도형의 넓이의 분할+여집합 과 결합되어 재출제가 가능하고, 그게 올헤 수능일지, 언제가 될지는 아무도 모릅니다. 사실 기하적 상황 파악 잘 안되는 분들은 ... 이런 문제 어렵습니다. 멘붕 오는 분들도 있을 것이고요. 연습 많이 해야지 뭐 ... 어차피 수능에 출제되는 기하적인 상황을 제한적이라 2026 이동훈 기출 수학1, 2, 미적분의 유형별 개념 참고해서 정리하시길 바랍니다. 이 문제에서 주어진 기하적 상황은 비교적 예쁜 편이라 ... 최소 4 개 이상의 서로 다른 풀이가 가능해 보입니디만. 아마도 아래의 풀이가 가장 빠른 길 같습니다. 가장 처음에는 원 C2 에 내접하는 사각형 ABED 가 보여야 하고, 그리고 나서 ... 서로 닮음인 두 삼각형 CDE, CBA 에서 같은 각을 그려야 합니다. (위의 그림) 할선 정리를 이용해서 나머지 변의 길이를 미지수 t 를 이용하여 결정할 수도 있는데 ... 이 방향으로 가면 두 삼각형 DAE, ABC 에서 코사인법칙을 적용할 가능성이 높아지겠고요. 이 방향도 나쁘지 않은데 ... 아무래도 아래의 풀이가 좀 더 짧습니다. 만약 한 각 D 를 공유하는 두 삼각형 DAE, DCE 가 보이고, 이 두 삼각형 각각에서 코사인법칙을 적용할 생각이 들었다면 선분 AE 를 보조선으로 그을 생각이 들었겠지만. 이게 그리 쉽진 않습니다. 두 원 C1, C2 의 닮음비가 1:2 이므로 두 각 B, D 에 대응되는 두 변 AC, AE 의 닮음비는 1:2 이므로 선분 AE 의 길이는 6 (=2*3) 이지요. 이 과정에서 사인법칙을 반드시 적용할 필요는 없습니다. 이런 지점이 이 문제의 퀄리티를 좀 낮게 하는데. 그럼에도 불구하고 상당히 좋은 문제 입니다. 마지막은 한 각을 공유하는 두 삼각형 DAE, DCE 에서 각각 코사인법칙을 적용하면 됩니다. 익숙한 기하적 상황을 찾는다. 라는 관점에서 접근하면 어렵지 않지만 ... 시험 시간에 이게 잘 안 보이면 상당히 곤란할 수 있는 문제입니다. 사차함수와 직선의 위치 관계에 대한 문제입니다. 주의해야 할 점은 ... (가) 곡선 y=g(x) 는 x=2 이외의 다른 점에서도 미분불가능할 수 있다. (나) 구간 [-a, a] 에서 함수 g(x) 는 어떤 구간에서 직선일 수 있다. 이 두 가지를 생각하지 못하면 시행착오 횟수가 많아지고요. 사차함수와 직선의 위치 관계는 아래와 같습니다. 그림과 식을 함께 기억해야 합니다. 특히 교점의 개수가 1 일 수는 없으며, 이는 식으로 보일 수 있습니다. 사차함수 f(x)가 반드시 지나야 하는 점은 (0, 0), (2, f(2)) 뿐이고, 두 점 (4, f(4)), (-4, -f(4)) 중에서 적어도 한 점만 지나면 됩니다. 그런데 만약 네 개의 점 (0, 0), (2, f(2)), (4, f(4)), (-4, -f(4)) 을 모두 지나면 곡선 y=f(x) 가 원점에서 직선 y=x 에 접한다는 조건에 모순 ! 따라서 아래 그림처럼 세 점 (0, 0), (2, f(2)), (4, f(4)) 또는 세 점 (0, 0), (2, f(2)), (-4, -f(4)) 을 지나는 두 경우만이 가능합니다. 인수정리를 이용하여 f(x) - x = x^2 * (x-2) * (x-4) 또는 f(x) - x = x^2 * (x-2) * (x+4) 의 방정식을 유도하게 되고, 나머지는 단순 계산. 위에서도 언급한 사차함수와 직선의 위치 관계는 반드시 정확하게 익혀야 겠습니다. 로그방정식에 대한 교과서 연습문제. 진수 조건 빼먹으면 곤란하고요. 정적분의 성질에 대한 교과서 연습문제. 시그마의 연산에 대한 교과서 연습문제. 시그마ak = A, 시그마bk = B 로 두고, 연립일차방정식 푸시면 되고요. f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 로 두고 ... f(0)=1, f(1)=0, f(0)=-1 위의 연립일차방정식을 풀면 됩니다. 등호가 2개 주어진 등식 즉, A=B=C 을 어떻게 처리할 것인가에 대한 문제. A=B, B=C A=p, B=p, C=p, 등이 가능한데. 이 문제는 주어진 식의 모양에서 A=B, A=C 또는 A=B, B=C 가 보여야 함. 위와 같이 그림을 그려서 pi/2 < k < pi 임을 찾아도 좋고 ... 처음부터 끝까지 계산만 해도 좋음. 나머지는 단순 계산. 삼차함수가 극점을 갖는 경우, 갖지 않는 경우 로 구분해야 할 생각이 바로 들어야 하고. 후자의 경우에는 g(t) 는 연속함수이므로 g(t)+g(t-4)도 연속함수. 이는 모순. 따라서 삼차함수 f(x)는 극값을 갖고, 극솟값, 극댓값을 각각 alpha, beta 로 두면 아래 그림과 같이 f(x), g(t), g(t)+g(t-4) 의 세 함수의 그래프를 얻고, beta = alpha + 4, a = beta+ 4 가 되어야 문제의 조건을 모두 만족시킴을 알 수 있습니다. 위의 과정은 이미 기출문제에서 너무 자주 다룬 상황이라 일사천리로 손 끝에서 나와야 하고요. (사실 머릿 속에서 10초 안에 다 끝나야...) 함수 f(x)의 방정식을 결정할 때에는 위와 같이 비율관계를 이용하면 편-합니다. 여기서 미분하고 ... 이러면 난문 풀이할 시간 까먹고요. 이런 문제를 만나면 ... 정방향으로 수형도를 그릴지, 역방향으로 수형도를 그릴지 고민을 하게 되는데요. 결과적으로 보면 둘 다 가능한 문제입니다. 수형도를 그릴 때, 특별한 점이 없어서 설명할게 없는데요 ... 문제에서 주어진 귀납적 정의를 보고 y=x^2, y=-2x+3 을 그려서 거미줄 도형 한 번 타볼까 ... 하는 분들이 있었다면 ... 해보셨으면 알겠지만 딱히. 그렇게. 유용하지는 않습니다. 확률의 덧셈정리 + 배반사건에 대한 교과서 예제. 이항정리에 대한 교과서 예제. 중복순열 + 여사건의 확률에 대한 교과서 연습문제. (전체 경우) - (곱한 값이 3의 배수가 아닌 경우) 이렇게 계산할 생각이 바로 들어야 하고요. 26 번 서로 다른 사람들에게 서로 다른 종류의 공을 분배할 때, 각각이 받는 공의 개수에 제한 조건 (등식, 부등식, 방정식, 부등식, ...) 을 두는 문제는 매우 전형적이지요. 이런 유형의 문제들은 아래와 같이 표를 그려서 해결하면 됩니다. 이후는 중복조합의 수를 이용한 단순 계산. 27 번 소인수분해 + 수의 선택 & 나열 에 대한 문제도 이제는 매우 전형적이지요. 96 을 소인수분해하고, 인수 4 의 개수를 기준으로 경우를 나누고, 같은 것이 있는 순열을 수를 이용하면 문제를 해결할 수 있습니다. 아래는 풀이. 28 번 (가), (나)에서 모두 f(6)-f(3) 이 보이므로, 이 식이 나타나도록 (가)의 등식을 변형하면 아래와 같은 표를 얻습니다. 같은 식이 보이는가 ? 에 대한 문제이고 ... 이건 올해 수능에서도 100 % 출제됩니다. 아래는 풀이 과정. 29 번 아래 처럼 불가능한 경우를 써보면 가능한 경우를 알게 됩니다. 이처럼 경우의 수 문제는 일단 몇 개의 경우를 써봐야 문제해결방식이 눈에 보이고요. 아래는 풀이 크게 두 개의 경우가 가능한 것을 찾게 되고 ... 각 경우에 대하여 A, B 가 서로 이웃하지 않을 경우를 구하면 되겠지요. 이때, 여사건의 경우의 수를 구해도 좋고, 아래 풀이처럼 그냥 다 세도 좋습니다. 큰 차이는 없어요. 30 번 처음에 모두 꺼진 상태이므로 ... 일단 1 번은 켜져야 하고 ... 그렇다면 6 이 적어도 한 번 이상 나와야 합니다. 그렇다면 이제 6 의 개수를 가지고 전체 경우를 다음의 세 개로 구분하면 된다는 생각이 들게 됩니다. 아래는 풀이. 만약 각 시행이 독립이라는 확신이 들지 않는다면. 예를 들어 두 경우 66611 66116 의 결과가 동일함을 직접 써봐도 좋겠지요. 최근 수능에서는 두 사건의 독립을 판단할 수 있는가를 자주 평가하고 있습니다. 쉽지 않은 주제이니까요. (a^x - 1) / x 꼴의 극한은 공식으로 암기해야 합니다. 생각 안나면 로피탈 쓰셔도 무방. 매개변수의 미분법의 전형적인 문제. 수열의 극한에 대한 전형적인 문제. 좌변에서 a=b^2 은 바로 보여야 겠고요. 아래의 그림처럼 두 직각삼각형의 닮음 관계가 바로 보여야 합니다. 이처럼 기하적인 상황을 미리 파악해야 계산량이 적어 집니다. 나머지는 단순 계산. 자주 출제되는 역함수의 미분법 계산 문제. 이 정도는 이제 (자주 나와서) 너무 쉽죠. 계산 폭탄. 미적분에 이런 계산 폭탄 문제가 하나라도 있으면 29, 30 번을 풀 시간을 줄일 수 있어서 출제자들에게는 매력적인 선택 이긴 합니다. 내용적인 부분을 보면 ... 경계값 즉, 등호성립조건을 이용하여 방정식을 풀어야 하는데. 이런 식의 풀이는 생각보다 자주 수능/평가원에 출제되고 있어서 방정식이 뭔가 계속 풀리지 않는다 ... 라는 생각이 들면 등호성립조건을 살펴볼 필요가 있습니다. 등호성립조건은 제가 매번 강조하고 있고 ... 올해 수능에서도 100 % 출제됩니다. 잘 보이게 출제하는가, 정말 안 보이게 출제하는가의 선택만이 있을 뿐입니다. 아래는 풀이. 기하적인 상황이 예쁘기 때문에 ... 이런 문제들은 서로 다른 풀이가 적어도 4~5 개 이상일 텐데요. 아래의 풀이는 순서대로 (1) 좌표평면 도입하여, 원과 직선의 방정식 연립 (2) 두 직선이 주어졌으므로 두 직선 AB, PB 가 이루는 예각을 크기를 alpha 로 두고, 원의 성질, 사인법칙, ... 등을 이용한다. (3) 선분 AP 의 길이를 t(theta) 로 두고, 코사인법칙을 이용한다. (2) 번 풀이의 경우에는 각 alpha 를 어디에 둘 것인가에 따라서 최소 2 개 이상의 다른 계산 과정이 가능합니다. 이렇게만 봐도 ... 5 개 이상의 풀이가 가능하네요. 아래는 풀이. 생각보다 쉬운 문제인데 ... 등비수열 {bn} 의 공비를 r 로 두면 ... 01 의 세 가지의 경우로 나누게 되고. 0=1 일 때, 3*b3n-2 - 7*b3n-1 + 2*b3n 이 0 에 수렴하지 않으므로 발산. 따라서 귀류법에 의하여 r>1 이고 ... 이제 이차방정식 2r^2-7r+3 = 0 을 풀면 r=3 이고 ... 나머지는 몇 번째 항까지 (-1)^n 인지를 경우 구분해서 계산 & 판단 하면 됩니다. 풀이의 길이만 좀 길지 .. 사실 어떤 예외성이 있는 문제는 아닙니다. 그리고 조건 (가)에서 이차방정식 2r^2-7r+3 = 0 이 바로 보였다면 r>1 인 것이 좀 뻔하죠. 벡터의 합, 실수배에 대한 전형적인 문제. 타원의 방정식에 대한 전형적인 문제. 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식에 대한 전형적인 문제. 이런 유형의 문제는 교과서 연습문제 수준. 포물선의 정의에 따라 아래 그림처럼 선분 3 개를 그어주면 선분의 길이 관계가 바로 보이고 ... 나머지는 단순 계산. 이 문제는 좀 오해의 소지가 있을 수 있는데 ... 만약 네 선분 AB, BF, FP, PA 로 둘러싸인 도형의 넓이가 최대인 점 P, BF + FP + PA = 2 * 루트6 인 점 P 이 두 조건을 모두 만족시키는 점 P 는 세 점 P, A, F' 가 한 직선 위에 있을 때, 삼각형 PF'F 의 넓이가 최대가 되는 점 P 인데. 삼각형 PF'F 의 넓이는 1/2 * 2 * (점 P의 y좌표) 이므로 ... 이 삼각형의 넓이가 최대가 되는 점 P 는 결정되지 않습니다. 그래서 이 문제를 풀 때에는 (1) 점 A 가 고정되었고, (즉, 점 A 의 y 좌표는 상수) (2) 네 선분으로 둘러싸인 도형의 넓이가 최대가 될 때, 점 P가 P0 로 고정시킨 후에 (3) 세 점 F', A, P0 가 한 직선 위에 있다. 의 순서를 따라야 합니다. 그런데 ... 문제에서는 (1)을 확실하게 설명했다고 보기는 힘들어서 ... 주어진 조건에서 점 A의 y좌표는 양수이다. 를 점 A의 y좌표는 양의 상수이다. 로 바꾸는 것이 어떤가 합니다. 개인적으로는 논란의 여지가 있는 문제는 출제하지 않는 편이 낫다고 생각하기 때문에 점 A 의 좌표를 구체적인 숫자로 주고 쉬운 난이도로 출제했다면 더 좋았을 것 같고요. 아래는 풀이. 쌍곡선의 정의에 의하여 두 선분 PF', QF' 그어야 하고 ... OP = OF = OF' (대칭성) 의 조건에서 세 점 PF'F 를 지나는 원과 각 FPF' = 90 도 를 그린 후에 ... 쌍곡선의 정의를 이용하여 직각삼각형 PF'Q 의 세 선분의 길이를 한 미지수 ( k ) 를 포함하여 결정해야 합니다. 이 문제에서 찾아야 하는 기하적인 상황은 수능에서도 지속적으로 자주 묻고 있으므로 눈에 찍고, 손에서 바로 나올 수 있어야 합니다. 아래는 풀이. 위치 벡터의 시점을 어떻게 잡을 것인가에 따라서 계산의 분량이 많이 다를 것 같은데요. 벡터 식에서 대각선 AC 의 양 끝점을 주었기 때문에 직사각형의 두 대각선의 교점을 시점 O 로 두고 벡터 계산을 하는 것이 자연스럽니다. 아래 그림처럼 평행사변형의 성질을 이용하면 G2 의 위치를 결정할 수 있고, (계산을 할 수도 있는데 ... 좀 투머치) k 의 값 구할 때, 삼각비 이용하는 것은 바로 보여야 겠지요. 아래는 풀이. 분석은 여기까지 ~ 다음에 또 만나요 ~! 노베 기출 수학1+수학2+미적분 (PDF) https://docs.orbi.kr/docs/12978 노베 기출 수학1+수학2+확률과 통계 (PDF) https://docs.orbi.kr/docs/12979 2026 이동훈 기출 기하 PDF https://docs.orbi.kr/docs/13000/ 고1 기출 평가원+교사경 (무료PDF) https://orbi.kr/00070798256 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24) https://orbi.kr/00066979648 2026 이동훈 기출 실물 책 https://atom.ac/books/12829 2026 이동훈 기출 e-book https://atom.ac/ebook/12888

우리는잘될거야 · Accepted Answer

정성개추. 감사합니다. 그저 빛..

?️?️?❓❓ · Answer

선생님 저번에 첨삭한 학생은 과외를 받고있는건가요 ㅠㅠ 혹시 과외 받을 수 있는 경로가 있을까요

[이동훈t] 5월 수학 심층분석 (전문항)

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