전 기 력
게시글 주소: https://orbi.kr/00072980233
전기력과 관련하여 궁금한 것이 생겼습니다.
위와 같이 초기에 x축 위에 전하량이 각각 +Q, +q인 두 점전하가 d만큼 떨어져 있는 모습을 상상해봅시다. 이때 우측 점전하의 질량은 m이고, 좌측 점전하는 제자리에 고정돼 있습니다. 우측 점전하는 초기에 가만히 놓인 상태이고요. 이런 상태라면 어떤 일이 발생할까요?
당연히 우측 점전하가 전기력을 받아서 +x 방향으로 쭈욱 운동을 하게 되겠죠. 여기까진 거의 모두가 알 겁니다.
그런데... 시간에 따른 우측 점전하의 위치를 식으로 표현할 순 없을까요?
이것이 저의 궁금증입니다.
굳이 시도하진 마시고요. 제가 해결할 거니까 여러분들은 편하게 구경만 하시면 됩니다!
우선 좌측 점전하가 원점 O에 고정돼 있다고 치고, 우측 점전하의 위치가 x라고 칩시다. 여기서 x는 시간 t에 따라 변하는 함수입니다. 그러면 t=0일 때 x=d이므로 x(0)=d 이겠죠?
우측 점전하엔 +x 방향으로 전기력이 작용하니, 그림처럼 F=ma 뉴턴 운동 공식을 적용할 수 있겠죠. 계산 편의를 위해서 저 짬뽕된 식은 k로 치환해둡시다. 그러면...
위와 같이 보기만 해도 역겨운 미분방정식이 튀어나옵니다.
심지어 비선형이어서 풀기도 개빡세 보입니다;;
하지만 저는 풀어냈습니다. 이거 하나 풀려고 온갖 X랄은 다 했거든요.
우선 x'=u로 치환하고, chain rule을 이용하여 위와 같이 하늘색 식으로 정리해줍니다.
그러면 위처럼 적분할 수가 있겠죠.
아까 u=x'이라고 치환했으므로, 다시 x에 대한 식으로 정리합시다. 여기서 왜 +가 붙냐면...
x'이라는 게, 속도를 의미하잖아요. 우측 점전하가 계속 +x 방향으로 이동해야 하는데, 그러면 속도가 -x 방향이면 안되죠.
초기에 우측 점전하를 가만히 놓은 것이므로 처음 속도는 0입니다. 이걸 이용하면, 상수 a도 구할 수가 있어요!
그러면 속도 x'의 식은 저렇게 나타남을 알 수 있습니다.
마음 같아선 속도만 구하고 나가고 싶은데, 저의 목표는 t와 x 사이의 식을 구하는 것이므로 계속 가보겠습니다.
아까 구한 x'의 식을 변수 분리를 통해서 적분을 시킵시다. 그러면 t에 관한 식에 적분상수가 이미 붙어있으므로, 우측 식에는 적분상수를 굳이 붙이지 않아도 되는데......
이거 적분하기 어려울 텐데....???
먼저 저 꼴이 보기 싫으니까, 치환적분을 통해 살짝 변형할게요. 그래도 적분하기 어려워 보입니다...
부분적분을 시도해봅시다. 그러면.....
분모의 제곱근 내부 식이 이차함수 꼴이므로 삼각치환을 써봤습니다. 다행히 적분 식이 깔끔하게 나왔네요!
secx를 적분하는 과정을 적어두고,
위 식에 정보들을 다 때려넣읍시다. p와 θ에 관한 식을 통해서 말이죠.
근데 저는 위 식을 좀 더 간편한 꼴로 고치려고 합니다.
위와 같은 쌍곡선함수들을 이용해서 말이죠.
여기서 저는 tanhx의 역함수를 이용할 겁니다. 왜냐하면 이 역함수의 로그표현이, 아까 구한 적분 결과의 식이랑 형태가 매우 유사하거든요.
참고로, 이 역함수의 정의역은 -1<x<1입니다. 로그표현으로 변환하는 과정에서 저 주황색 식이 튀어나오는데, 저 e2y가 무조건 양수여야 하는 조건에 맞는 x의 범위가 바로 -1<x<1이거든요.
그러면.... 위 적분의 결과가 우측처럼 tanhx의 역함수 꼴로 나타난다는 걸 알 수 있네요.
자, 거의 다 왔습니다.
처음 과정에서 x-d=p라고 치환을 했으므로 이 p를 다시 x에 대해 바꿔줍시다. 그러면??
짜잔~~~!!
응 아직 안 끝났어 저 적분상수 C를 처리해줘야지
x(0)=d 즉, t=0일 때 x=d라는 정보를 활용하면, C=0임을 알아낼 수 있어요....!!!
우측 점전하의 위치 x를 시간 t에 대해 나타낸 식은 저 보라색 식입니다. t=f(x) 꼴로만 표현할 수 있고 x=f(t) 꼴로 표현할 수가 없다는 게 좀 아쉽지만, 뭐 어쩌겠습니까...
속도 v=x'은 그림과 같이 위치 x에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다. t에 대해 표현할 수 없으니까 함부로 나타내달라고 하지 마세요.
상수 k는 저 짬뽕된 식을 치환시킨 거고요.
시간 t에 따른 위치 x의 그래프는 저렇게 나타나고요.
...내가 물리학을 다루는 건지, 수학을 다루는 건지 헷갈린다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
가슴이 웅장해진다 진짜........ ED ㅈㄴ 좋네
-
매일 순공 6~8시간 집중하는거면 수험생 기준 ㅁㅌㅊ인가요 5
공부량 상위 30% 정도 됨?
-
2주만 기다리면 됨
-
상대방이 삐졌을때 풀어주려고 하는 버릇 고치기 감정 흔들릴 때 체크용 질문표 1....
-
이거 과외 괜 찮? 14
애가 고2인데 영어모고 세개가 가장 많이 틀리는때고 성적 잘나옴 영어 기출로 된...
-
죽고싶다
-
방금 어디서 본 건데 제발 여자랑 노래방 가서 메테오 이런 거 부르지 말란 글을 봄.. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
솔직히 출제하면서 다시는 그렇게 안되도록 하지않을까..?? 그런 참사가 2년만에 또오진 않겠지..?
-
반수 학원 들어간다 했을때 어디가 좋음? 확통,사탐(생윤,사문)기준 개념 정리하는데 어느정도 걸림?
-
08인데 내신도 늘 수 1 영 3~5 모고도 수학은 92가 하방이고 영어는 늘 3...
-
내년부터는 어차피 막타라 심화분석 이런거 확줄을듯 사교육쪽도 확통에 웨이트걸고...
-
작수 12233 8
언미화지고 국어는 고정1 미적만 3개 틀리고 공통 1개틀 탐구는 말할 것 없음 인데...
-
ㅇㅇ
-
~~
-
집모 기준 언 2컷 미 92(28,29) 영 3 생 2 지 2 입니다. 목표는...
-
1.앵간하면 전체적 백분위를 챙기셈 전과목을 다 어느정돈 하라는거 +영어1/한국사1...
-
아이디어 확통 29번 30번 정도 난이도 문제 안풀리면 풀릴 때까지 계속...
-
이원준 선생님 독서 + 강민철 선생님 문학 하시는 분 계신가요? 솔직히 그럽게...
-
고삼정시파이터인데 국어 노베기도 하고 공부를 제대로 해본적이 없어서 4
실력 확인하려고 하는데 모고 뭐 풀면 될까요? 작년 수능 문제나 69모 풀면...
-
ㅇㅁㅇ
-
예전에 비해 기하 글 써도 관심이 확실히 없음
-
왜인지
-
백분위 100만 최소 3분의 1이상
-
-
나 오늘 따라 1
따라 따라따라 딴 딴 딴
-
시발
-
장기하훌리
-
1은 죽어도 안뜰거같은데 ㅠㅠ 국못..0-
-
우울해서 빵샀어
-
컨설팅 2개 받았는데 2개중에 하나는 가다군 다 틀렸고 하나는 그래도 좀 많이 맞음...
-
로그아웃하고 2
자야겠다 수능 끝나고 와야지 98 100 1 99 100 성적표 들고옴
-
수분감 1회독 돌리고나서 수1 띰3개 정도 들었고 수2는 이제 시작인데
-
오빠가 오다주웠어 ㅋㅋ 맛있게 먹어 이쁜이 ㅎㅎ
-
차단목록공개함 10
내일함
-
나 3년 전 수능때 외적 썼다가 좃망한 기억 있는데 요즘도 외적 쓰는 사람들 있나...
-
오늘은 일찍 일어나길.. 다들 잘자요.
-
레어 사가세요 반값에 드려요 당근빼고
-
ㅇㅈ 23
그런건 없고 귀여운 스바루 보고 가세요
-
난 학평 4등급이 힌트 좀 줬다고 중상난도 4점을 푸는걸 보고 정말 놀랐음 그리고...
-
모솔이라고 하시는 분들 고딩 때 연애는 빼고 말씀하시는 거임?
-
아무리생각해도 다시 만날 수 없으니 챗지피티랑 놀려고
-
날 누가 막을건데
-
cos∠BAC=√3/4일때 AP² 값은? 풀이도 적어주셈 원래는 공간도형 문제였는데...
-
자살마렵다 15
괜찮아
-
좋은 아침 13
나 일어났어
-
수학 및 타임어택은 내가 좀 치는데 암기가 진짜 좀 심각한데 우리는 암기만 하니까...
-
제 낙서 ㅇㄸ 24
-
다들 조아요
-
한무당 척결 8
하고 싶은 사람 좋아요
-
으하하
으아앙
멋있긴 한데 왜하는거나도 저런거 하고 싶다 (대학 보내주세요)