[칼럼] 원함수, 도함수를 낳으시고, 도함수도 원함수를 낳?
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합성 함수 미분을 이용하면 쉽게 풀리는 문제
인데 이걸 왜 가져왔느냐
문제에 제시된 f의 성질을 이용하면 좀 색다른 시각에서 접근이 가능하기 때문입니다
일단 어떻게 문제를 풀든 f(x)라는 함수를 미분하는 건 피할 수 없는데
저 함수는 미분을 거듭할 때 마다
lnx가 미분되어 분모에 있는 x의 차수가 늘어나고,
1/x의 거듭제곱을 미분하기 때문에 분모의 x 차수가 늘어나서
미분을 한 횟수 만큼 분모의 x 차수가 늘어나고, lnx는 그대로 보존되는 성질이 있습니다
실제로 2005년 도쿄대에서 이를 건드리기도 했고요(일본에서는 ln대신 log라 씁니다)
그럼 그 성질을 가지고 이 문제를 어떻게 풀 것인가?
먼저
라는 건 다들 알고 계실건데
살짝 조작을 가하면
이런 식이 나온다는 걸 알 수 있습니다.
그런데 결국 이 형태로 계속 풀면 f에 g넣고 미분해서 다시 g'을 구해야 하니
그냥 처음부터 얌전히 푸는 것만 못한 짓이 되어
그냥 '오'에서 끝나고 맙니다
그런데 f는 위에서도 말했듯이 분자의 lnx가 그대로 보존되는 성질이 있기 때문에
f'에서 직접 f를 추출할 수 있겠죠?
그렇다면
가 성립하니까 여기서 양변을 미분하면
우리가 원하는 식이 나옵니다
만... 그래도 g'이 종양처럼 따라붙어서 문제인데
이녀석을 한번 더 이용하면 g'을 t와 g에 대해서 나타낼 수 있습니다
결론)
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