[칼럼] 코사인법칙과 싸우는 남자

어려운 문제는 아니지만

귀찮음이 많았던 24 수능 13번 문제

정석대로 푸는 방법은 각 ADC에 대한 sin 값을 알아내기 위해 AC의 길이가 필요하니까 제2코사인법칙 써서 어쩌고 저쩌고 열심히 푸는 건데...

이런 생각을 한번 해볼 수 있지 않을까요?

딱 보고 감이 잘 안 오는 분도 계실 수 있는데

부연 설명을 덧붙이자면

SAS 합동에서 A가 왜 사잇각이어야만 합동이 되는지 생각해보신 적 있으신가요?

다른 각도 둘이나 있는데 왜 하필?

그걸 알아보기 위해서 AB=5, BC=3, 각 BAC=30도인 삼각형 ABC를 한번 생각해봅시다.

먼저 AB=5, BC=3이라는 상황은

위의 그림과 같이 길이가 5인 선분 AB와 그 선분의 한 끝점 B에서 반지름이 3인 원을 그리고 그 원 위의 한 점을 C라고 하는 상황과 같습니다.

그러면 이 상황에서 각 BAC의 크기가 30도라 하면

A에서 선분 AB와 이루는 각의 크기가 30도인 반직선을 그어서 만나는 점을 C라고 하면 되겠네요

그런데 여기서 문제가 발생합니다.

저렇게 반직선을 그어서 원과의 교점을 찾으면 교점이 하나일 수도 있지만

그림과 같이 둘 일수도, 없을 수도 있기 때문입니다.

그럼 이렇게 둘인 상황에서 점 C를 확정할 수 있을까요?

추가적인 조건이 주어지지 않는 이상 없습니다

이렇게 사잇각이 아닌 상황에서는 삼각형이 하나로 결정되지 않을 수 있기 때문에 반드시 SAS 합동에서 A는 사잇각이어야만 합니다.

그런데 문제의 상황에서는 어떤 일이 일어나는가 하면

기준으로 잡는 선분 AB의 길이가 3인데 반해, 원의 반지름으로 삼을 BC의 길이가 AB의 길이보다 큽니다

이런 상황에서 AB와 이루는 각의 크기가 60도이고, A를 지나는 반직선을 그어도 원과 반직선이 만나는 교점은 단 하나밖에 존재하지 않게 됩니다.

반직선이 아닌 직선을 그으면야 당연히 교점이 두 개 생기겠지만

이 경우는 각 BAC가 60도가 아닌, 120도가 되기 때문에 당연히 문제의 상황을 만족하지 못합니다.

이처럼 사잇각이 아닌 각이 주어지더라도 문제의 상황에 따라서 점이 단 하나만 결정되는 경우를 잘 이용하면

이렇게 계산을 상당히 간략화할 수 있습니다.

이제 남은 건 계산 뿐...

결론)

나는

코사인법칙이

싫어요

개추는 언제나 힘이 됩니다