[칼럼] 부정적분은 적분이 아니다
게시글 주소: https://orbi.kr/00072697375
안녕하세요 :)
이번 칼럼에서는 부정적분에 대해 다뤄볼게요.
적분 개념을 정확히 알고 있는 학생이 생각보다 많지 않더라고요.
공부를 잘하는 학생이라면 쉬울 수도 있지만,
이 글을 통해 적분의 개념을 확실히 정리해 보세요!
1. 정적분은 왜 하는가?
정적분은 고대 이집트 사람들이 만들었습니다.
이집트에서는 나일강이 주기적으로 범람했어요.
덕분에 땅이 비옥해져 농사가 잘됐지만,
홍수가 지나갈 때마다 땅의 경계가 사라지는 문제가 생겼죠.
“깃발을 꽂아놨는데 홍수에 다 쓸려나갔네...
내 땅이 어디까지였더라?”
이집트 농부들은 이 문제를 수학적으로 풀려고 했습니다.
구불구불하고 불규칙적인 땅의 넓이를 정확히 재는 거죠.
(사진은 나무위키에서 가져왔습니다.)
구불구불한 넓이를 정확히 재기 위해서,
사람들은 면적을 잘게 쪼개서 더했어요.
작은 직사각형을 만들고, 넓이를 다 더하면,
구불구불한 넓이를 구할 수 있지 않을까?
정적분은 이런 생각에서 출발했습니다.
지금은 고대 유물이 되어 버린 공식입니다.
정적분의 정의에요. 교과서에 있는 거랑은 다르죠?
지금은 교육과정에서 빠졌기 때문에 자세히 공부할 필요는 없습니다.
무슨 의미인지 간단히 알아봅시다.
극한 lim은 작은 직사각형이 무수히 많다는 것을 뜻합니다.
시그마 기호는 직사각형 넓이를 더한다는 뜻이고요.
시그마 안쪽 
은 직사각형의 넓이입니다.
즉,
작은 직사각형을 만들고, 넓이를 다 더하면,
구불구불한 넓이를 구할 수 있지 않을까?
라는 게 정적분인 거죠.
2. 미분은 왜 하는가?
(설명의 편의를 위해 뉴턴 미분법만 다룹니다.)
떨어지는 사과를 보면서 만유인력을 발견한 뉴턴,
하지만 뉴턴씨는 큰 문제를 마주하게 됩니다.
사과를 너무 많이 먹어서 질려버린 것이죠.
심심해진 뉴턴은 다른 의문을 품었습니다.
'떨어지는 사과의 속도를 구할 순 없을까?'
예를 들어,
서울에서 부산까지 500km를 5시간 만에 갔다면,
평균 속력은 100km/h입니다.
그런데 실제로는 브레이크도 밟고, 신호도 서고, 좌회전도 하잖아요?
미분은 자동차가 대전톨게이트를 지나는 순간의 속도를 구하는 겁니다.
매우매우 러프하게 말하면,
미분은 순간 속도를 구하기 위해 하는 거에요.
이 속도를 구하려다 보니 기울기가 나오고, 순간변화율이 나오는 거죠.
3. 미적분의 기본정리
위 내용을 다시 정리해볼게요.
적분은 구불구불한 땅 넓이를 구하는 겁니다.
미분은 자동차의 순간 속도를 구하는 겁니다.
이 녀석들, 대체 무슨 상관이 있을까요?
부동산이랑 속도계가 과연 연관이 있을까요?
원래 미분과 적분은 전혀 관련이 없습니다.
전혀 관련없는 두 분야는,
미적분의 기본정리라는 위대한 공식에 의해 연결되었습니다.
교과서에는 이 공식이 '정적분의 정의'라고 나와 있습니다.
거짓말입니다. 정적분의 정의 아니에요.
이건 미적분의 기본정리입니다.
왼쪽은 정적분 값입니다. 즉 f(x)의 넓이에요.
오른쪽에 있는 함수 F(x)는 f(x)에서 역미분을 해준 녀석입니다.
저는 부정적분이라는 용어를 좋아하지 않습니다.
학생들이 부정적분과 정적분을 헷갈리는 큰 이유는,
부정적분이라는 이상한 용어를 쓰기 때문이에요.
저는 역미분이라는 용어를 대신 씁니다.
흔히 미분 거꾸로 하면 부정적분이라고 하는데요,
부정적분은 원래 정적분이랑 관련이 없습니다.
정적분은 넓이를 구하는 거, 부정적분은 미분 거꾸로 한 거!
전혀 다른 적분과 미분이라는 분야는
수학 역사상 가장 중요한 미적분의 기본정리에 의해 연결되었고,
그래서 우리는 적분과 미분을 엮어서 배우는 겁니다.
이 정리가 얼마나 위대한지 체감이 안 간다면,
복잡한 경제학 문제를
쉬운 지구과학 공식으로 푼다고 생각해보세요.
뉴턴은 이런 대단한 일을 해낸 거죠.
4. 이게 왜 중요한데
여기까지 읽었다면 이런 생각이 들 거에요.
'선생, 누구나 다 아는 거 아니오?'
미적분의 기본정리를 학교에서 중요하게 가르치기 때문에,
학생들은 정적분과 역미분(부정적분)을 헷갈리기 쉽습니다.
정적분은 기본적으로 넓이입니다.
즉 정적분을 하면 숫자가 나옵니다.
반대로 역미분을 하면 함수가 나옵니다.
문제 풀 때 이 부분을 헷갈리기 쉽습니다.
다시 한 번 강조하겠습니다.
정적분을 하면 숫자가 나오고,
역미분(부정적분)을 하면 함수가 나옵니다.
5. 더 복잡해지는...
강조했듯, 정적분을 하면 숫자가 나옵니다.
하지만 수학자 놈들은 언제나 더 복잡한 것을 만들죠.
흔히 보는 정적분으로 정의된 함수입니다.
어라, 아까 분명히 정적분은 숫자라고 했는데...
정적분은 기본적으로 숫자이지만,
적분구간에 문자 x가 있어서 함수가 나옵니다.
이게 뭔 소리냐고요?
정적분으로 정의된 함수에 대해서는 다음 칼럼에서 다뤄보겠습니다.
<정리>
오늘의 결론입니다.
정적분을 하면 숫자가 나오고,
역미분(부정적분)을 하면 함수가 나옵니다.
헷갈리지 않도록 조심합시다!
궁금한 점 있으시면 댓글 달아주시면 성심껏 답변드릴게요!
부족한 글 끝까지 읽어주셔서 감사합니다!
도움이 되셨다면 좋아요, 댓글 부탁드립니다 :)
수학 칼럼)
실수를 줄이는 현실적 방법 https://orbi.kr/00072183669
모의고사 당일에 '무조건' 복기하세요 https://orbi.kr/00072575369
계산실수가 많다면 버려야 할 습관 https://orbi.kr/00072173494
진도가 늦어서 불안할 때 https://orbi.kr/00072313784
체계적으로 문제 읽기 1 https://orbi.kr/00072237485
체계적으로 문제 읽기 2 https://orbi.kr/00072300008
극한상쇄 (231114) https://orbi.kr/00072371992
3모 공통 총평 + 14, 15 해설 https://orbi.kr/00072624661
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
먼 무등비 삼도극이여
-
6모 만점을 받아오면 바로 앞에서 ’드릴‘을 풀어도 뭐라 하지 않겠다 ㄷㄷ
-
버리고 92맞음
-
이제 진짜 해야되죠? 계속 유기했는디..
-
그냥 의대생들 다 재적시켜버리고 26 27 28 정시모집 확대 5
이재명은 합니다
-
걍 이재명 싫어하는거였네
-
대 재 명
-
아이고 0
https://n.news.naver.com/mnews/article/081/0003...
-
(속보)이재명 의대생 미복귀시 전원 기본주택에 입주시키겠다고 선언 3
라고 할뻔~
-
1. 집에서 쉬어꼬부라져서 살려달라고 울부짖는 신김치 준비 2. 소면을 삶는다 3....
-
모의고사에 의미부여하기
-
정시확대 시켜주신분 의대정책 안하셨던분 킬러배제 안하셨던 분... 그저 goat 뒤늦게 깨달았습니다
-
누구들을까요
-
고공 가고싶어잉
-
아님 계속 휴학?
-
의대 해결방법 2
그냥 복귀하든 말든 수능 못치게 막고 다 쫓아내면 안되나..
-
-
그거 말고는 사망밖에 답 없다 국민연금,중국카르텔 ,반미 선동 정당 등등 어차피...
-
고딩인데 갑자기 궁금
-
실검 3
6평 이재명 기각
-
오르비 여론 조사 14
이재명 찍는다/아니다
-
전자가 나은거아님?ㅠㅋㅋ 새로 생긴 지역인재에서 정원을 빼야하는거 아니냐
-
네웹 근황(헬스터디) 14
미3누씨 시즌 4 ㄱㄱ혓
-
존나 하세요 애초에 탄핵 안됐어도 해야했음
-
탄핵은 좋은데 0
감기바이러스도 좀 탄핵좀 콜록콜록
-
장제원 의원 "우리가 만든 대통령, 탄핵 지켜보며 만감이 교차" 3
장제원 의원이 박근혜 전 대통령의 탄핵 인용에 대한 입장을 밝혔다. 10일 오후...
-
일단 나부터
-
1. 대문 앞에 파란 드럼통이 놓여있다면 그 즉시 문을 잠그고 가족, 지인에게...
-
삼도극하고 무등비 버렸었는데 해놔야할까요?
-
이렇게 감정이 잘 드러나는 아나운서는 처음이네 입꼬리가 아주
-
물어볼 곳이 없는데 탄핵됐는데 정청래 표정 왜 썩어있음
-
(1컷 72인 실모를 만들며)
-
민주당 당산되면 최소 2배 영혼까지 끌어다 사십쇼 몇배는 뜁니다 오늘이 최저점임니다
-
한 나라의 우두머리엿다가 파면 당해 내려오는 윤석열의 내면세계를 공감할 수 잇음
-
사탐런 현상 때문에 더 안 좋아질 일만 남았음 의반 유입이 갑자기 학교 간다고...
-
5000명 증원.. ‘만인은 평등해야...’ 발언
-
-
이재명이고 뭐고 0
밥먹고 내 할 일 해야지 ㅅㅂ 나라 걱정하기 전에 내가 좆되게 생겼는데
-
-
6월 3일인 학평 원래 일정과 천안문 사태 발생일과 날짜가 같음ㅋㅋ
-
여기 인터넷 어떻게 뚫어요...? help!! 도움!!
-
하필 날짜가.
-
탄핵 관련 4
법 지문 나올 가능성도 있나
-
개씹호감임 저 똥배에서 나오는 자신감 매우치명적임 대종햄 진지하게 결혼하고싶은데...
-
필기노트가 17000원인게 말이 되나 야뎁 방지 목적으로 본교재에 실전개념은 다...
-
-
이제 탄핵됐으니까 금방이려나
-
솔직히 난 2411 경2마식 보도 이런 지문 안 좋아함 9
물론 국어의 퀄은 선지로 결정되는 거 잘 아는데 지문 구조가 너무 양산형임. 주제랑...
-
ㅈㅅ ㅅㅈㅎㄱㅇ
-
윤석열 나무위키 0
”재임기간 ~~ 4월 4일“
아쎄이 역미분 실시.
좋아요 눌럿읍니다
헉
<정리>
오늘의 결론입니다.
정적분을 하면 숫자가 나오고,
역미분(부정적분)을 하면 함수가 나옵니다.
헷갈리지 않도록 조심합시다!
---------------------------------------------------
위 부분에서
'부정적분을 하다'라는 표현은 약간 문제가 있어요
부정적분은 엄밀하게 말하자면 일종의 '집합'이니까요(역도함수의 집합)
부정적분은 미분의 역연산이 아니라
어떤 함수의 모든 역도함수의 집합을 뜻합니다
여담이지만
우리나라 고등 교육과정은 적분을 너무 어거지로 가르친다고 생각해요...
연산 자체도 부정적분이라고 하지 않나요
물론 한 단어를 두 가지 의미로 쓰는게 좋아보이진 않지만...
아니요, 일상적으로 학생들에게 설명할 때는 그렇게 말하기도 하나
'부정적분'(indefinite integral)은 학문적으로는 특정 함수의 모든 역도함수의 모임(family of all antiderivatives of f)을 의미해요
찾아보니 indefinite integration에 대응되는 용어는 따로 없었네요
네
그래서 그냥 '원시함수를 찾는다', 'Finding the antiderivative'이라고 하죠
헉
적분상수를 고려하면 현월님께서 정확한 지적을 해 주셨네요 :)
사실 이 칼럼은 설명을 위해 엄밀함을 조금 희생했습니다.
'정적분은 넓이이다'는 말도, 대학에서 배우다 보면 예외가 막 튀어나오죠...
정적분 기호에 있는 dx도 숫자인데 숫자가 아니지만 계산은 되는 이상한 놈이고...
이 부분은 감안해 주시면 감사하겠습니다 :)
+) 적분을 어거지로 가르친다는 부분 너무 공감합니다.
저는 정적분의 정의를 교육과정에서 뺀 결정, 정말 잘못됐다고 생각해요.
수능 수학 공부하면서 딱히 신경쓸 필요 없는 부분이기는 하지요
보충 설명 감사해요
사실 정적분의 ‘진짜’ 정의는 저것도 아니고...이거라는 사실
이게 르벡 적분이었나요? ㅋㅋㅋㅋ
예과때 배웠던 것 같은데 오랜만이네요
그걸 예과때? ㄷㄷㄷㄷ
정확히 언제 배웠는지는 기억이 안납니다... 만
디리클레 함수 같은 거 차력쇼 하면서 적분하는 게 인상깊었어요
예과 때 뭐하다가 배우셨어요??
저도 정확히 언젠지는 기억이 안나네요 ㅎㅎ..
학교 강의는 아니었던거 같습니다