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M oㅇmin [1211935] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2024-07-11 02:00:58
조회수 11,726

이차함수 공통접선과 확장

게시글 주소: https://orbi.kr/00068696503

오랜만에 오르비 들어와서 눈팅이나 좀 하다가


수학 질문글을 발견했습니다. 





질문은 아래와 같습니다. 

(원본링크는 댓글에 있어요.) 




아래 그림과 같이 교점이 없고 최고차 부호 다른 두 이차함수에 대해 반드시 두 개의 공통접선이 존재하냐는 겁니다.



여러분은 어떻게 생각하시나요?








다른 좋은 방법도 많겠다만...

질문을 보자마자 제가 떠올린 건 차이함수입니다. 


저 그림은 사실,




이거랑 똑같은 그림이에요. 

"이거"가 뭐냐면 축이 일치되어 있고 부호는 다른 이차함수입니다. 








이 경우에는 당연히 접선 두 개 날릴 수 있겠죠. 

그림이 선대칭이므로 한쪽에 그을 수 있다면 

그 반대편에도 똑같이 그을 수 있으니까요.


두 접선은 기울기의 절댓값도 같을 겁니다.





그럼 요지는 이겁니다.


왜 질문자의 그림이 위 그림으로 바뀔 수 있는 것일까요?






어... 답은 되게 간단한데요,

그냥 그림의 모든 함수에다가 적절한 일차함수를 빼줘서 

축을 움직여가지고 반드시 일치시킬 수 있기 때문입니다.  




근데 그림의 모든 함수에 적절한 일차함수를 뺀다는 게 도대체 무슨 말일까요?


아래 평가원 기출 문제를 보겠습니다.














일단 문제상황을 그려보면 다음과 같습니다.




근데 여기 보이는 모든 함수에다가 y=ax를 뺄거에요.



이때 중요한 점은, 교점의 x좌표들이 모두 유지된다는 것입니다. 




왜일까요?

 

방정식의 관점에서 보면 그 답을 쉽게 찾을 수 있습니다.



방정식 f(x)=ax+b의 해를 구하나,

방정식 f(x)-ax= b의 해를 구하나

당연히 똑같은 해가 나올 겁니다.




두 접선이 만나는 점의 x좌표, 즉 k는 왜 유지되는지도 볼까요?


왼쪽 빨간색 접선 식을 mx+n, 오른쪽 접선 식을 px+q라 할게요.

그러면...




위를 계산하나 아래를 계산하나 해는 똑같겠죠. 




그래서 전체 그림에 동일한 함수를 빼도 x좌표는 유지가 되는 겁니다. 


그래서 한 번 빼볼게요.

 



그럼 이렇게 나올 겁니다. 


사차함수가 선대칭이므로 k는 아무 계산 없이 1/2이라는 걸 알 수 있어요.






전체 그림에 함수를 "빼는" 것만 가능한가요?


아니요! 


전체 그림에 함수를 나눌 수도 있습니다.

이미 여러분들이 아주 많이 쓰고 있는 스킬이에요.




궁금한 분들은 아래 링크를 타고 들어가시면 됩니다.



https://orbi.kr/00063906682


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#무민

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