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설물리블링크 [993175] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2024-05-10 19:07:20
조회수 2,167

닫힌 집합과 열린 집합의 엄밀한 정의

게시글 주소: https://orbi.kr/00068041445

이 정의는 임의의 거리공간(거리를 재는 방법이 주어진 공간)에서 쓸 수 있으나 편의상 예시를 2차원 좌표평면에서 서술한다.

먼저 근방을 정의하자.

근방은 어떤 점 p에 대해

이라고 할 수 있다. 이때 d(p,q)는 p와 q 사이의 거리를 나타낸다.

한마디로 p로부터의 거리가 r보다 작은 점들을 말한다. 2차원 좌표평면에서는 경계를 포함하지 않는 원의 형태가 될 것이다.

이제 열린 집합을 정의해보자.

먼저 집합 X에 대해, X 내부의 점 p를 잡자. 이때 만약

p의 근방 

가 집합 X에 포함되도록 하는 0보다 큰 r이 존재하면 p를 집합 C의 내점(interior point)이라고 한다. 예를 들어 좌표평면위에 집합


내부의 점 (0,0)은 0<r<1인 모든 r에 대해 

을 만족시키므로 내점이 된다.

이때, 집합 X의 모든 원소가 X의 내점이면 X를 열린집합이라고 한다.


닫힌 집합은 집합 S 에 대해 S의 여잡합이 열린 집합이면 S는 닫힌 집합이다. 라고 정의해도 되지만 열린 집합에 의존하지 않는 다른 정의를 알아보자.


임의의 점 p를 생각해보자. 만약 어떤 임의의 양수 ε>0을 잡아도

항상 


을 만족시킨다면 p를 S의 집적점 (accumulation point)이라 한다. 이때 S의 모든 집적점을 모은 집합을 S의 도집합이라 하고 S'이라 쓴다.

또, S와 S' 의 합집합

를 S의 폐포(closure)라고 한다.

만약 S와 S의 폐포가 같다면 S를 닫힌 집합이라고 한다.


이거 읽고 한번에 이해하는 사람은 ㄹㅇ 천재임...

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