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책참 [1020565] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2023-04-04 19:26:56
조회수 7,149
3

자연 상수 e의 정의 (ft. 3점짜리 자작 문항)

게시글 주소: https://orbi.kr/00062603106

고등학교 경제수학을 공부하거나 경제를 공부하거나 미적분을 공부하다 보면 'e'라는 수에 대해 공부하게 됩니다.

이는 원주율과 함께 우리가 고등학교에서 마주할 수 있는 대표적인 무리수 중 하나입니다.

참고로 원주율은 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494450230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709...의 값을 지닙니다. 뇌 훈련 목적으로 심심할 때 쭉 외워보시면 좋겠습니다. (지금 적은 수까지는 제가 외운 것입니다 ㅎㅎ)

우선 모르는 지식을 접할 때는 네이버나 구글, chatGPT 등을 통해 읽어보면 좋습니다. 얘네는 '이걸 처음 보는 사람의 입장'에서 설명해준다는 느낌을 받았기 때문입니다. 아래 '자연 상수 e' 클릭하시면 네이버 검색결과로 이동합니다.

자연 상수 e

자 그럼 대충 요약해보면 e는 다음과 같이 정의한다고 합니다.

$ZT0gXGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9KDEreClee1xmcmFjezF9e3h9fc4nXGluZnR5yCzLKClee3h9IFxhcHByb3ggMi43MQ==$

우리가 알 수 있는 것은 e는 어떤 식의 극한으로 정의하는데 그 극한은 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하는 극한이라는 것입니다. 다시 말해 이런 느낌이라는 거죠!

그렇다면 아래 극한처럼 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하는 극한을 보면 우리는 'e와 관련이 있나?'라는 생각을 해볼 수 있습니다. 참고로 아래는 미적분에서 e의 정의를 처음 공부하면 쉽게 확인할 수 있는 문항 중 하나입니다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9KDErM3heMilee1xmcmFjezJ9ezd4XjJ9fQ==$

그럼 이것을 e의 정의를 활용해 해결해봅시다.

$PVxsaW0gX3t4XHRvIDB9XnsgfSgxKzN4XjIpXntcZnJhY3sxfXvEEH0gXHRpbWVzIDLGCMYdM317N31900Zb2Ed9XV57INVFxTfHSsQrxk3dSMYTNsZAZcgjxhA=$

참고로 함수의 극한의 성질 중 아래는 우리가 수학2나 미적분에서 배우진 않지만, 대충 '각각이 연속이면 이렇게 할 수 있다'라고 이해하시면 됩니다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gYX1eeyB9ZihnKHgpKT1mKCDSHcUb$

다시 말해 함수 f(x)가 x=g(a)에서 연속이고 g(x)가 x=a에서 극한이 존재하면 성립한다는 뜻입니다. 증명은 아래로 하면 되겠죠!

$XGxpbSBfe3hcdG8gYSt9XnsgfWcoeCk9cCxcc3BhY2UgIM0iLcoicQ==$

이러한 상황일 때

$XGxpbSBfe3hcdG8gYSt9XnsgfWYoZyh4KSk9ZihwKSxcc3BhY2UgIM0oLc8ocSk=$

이런 느낌이니

$ZihcbGltIF97eFx0byBhK31eeyB9Zyh4KSk9ZihwKSwgXHNwYWNlIGYoIM0pLc0pcSk=$

이것과 같아 성립한다.. 뭐 대충 이렇게요

자 그럼 이제 제 자작 문항입니다. (옛날에 만들었던 것인데 처음 오르비에 공유했던 글은 아래를 참고하시면 좋겠습니다.)

대신 풀 거면 글 들어가지 말고 직접 먼저 풀어보시기!

[미적 자작 문제] 무리수 e의 정의

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9KHheMys5XHNpbiAyeCvECGggeCsxKV57XGZyYWN7MX17xx19fQ==$

풀이 과정은 따로 남겨두지 않겠습니다. 푸신 후에는 위에 글 '무리수 e의 정의' 들어가셔서 답 확인해보시면 좋겠습니다!

아 참고로 저 sinh(x)는 'hyperbolic sine function' 정도로 읽으며 쌍곡선 함수의 한 종류입니다. 아래와 같습니다.

$XHNpbmggeD1cZnJhY3tlXngtZV57LXh9fXsyfQ==$

말 나온 김에 쌍곡선 함수와 관련한 것들을 남겨두겠습니다. 지수함수 적절히 조작한 느낌인데 sin이 나와서 '삼각함수?' 하신 분들이 계실 거예요. 이는 실제로 삼각함수에서 논할 수 있는 것들 (삼각함수 간의 관계, 삼각함수의 덧셈정리 등) 과 쌍곡선함수의 형태가 연관이 있기 때문에 저렇게 명명했다고 알고 있습니다.

$XGNvc2ggeD1cZnJhY3tlXngrZV57LXh9fXsyfQ==$

$XHRhbmggeD1cZnJhYyB7XHNpxA99e1xjb3PECQ==$

$XGNvc2heMiB4LVxzaW7FCj0x$

$XHNpbmggKFxhbHBoYSBccG1cYmV0YSk9xhjIF3RpbWVzIFxjb3NoxSDEKcYPziPHNsQj$

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No.99 Aaron Judge · 919199 · 23/04/04 19:30 · MS 2019

오
전공수업에 나오는거다
일단 추천꾹

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책참 · 1020565 · 23/04/04 19:56 · MS 2020

e 말씀하시는 건가요? 아님 쌍곡선 함수? ㅋㅋㅋ

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No.99 Aaron Judge · 919199 · 23/04/04 19:57 · MS 2019

e요! 지금 경제수학 배우는중이라서 ㅋㅋㅋㅋ

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책참 · 1020565 · 23/04/04 20:44 · MS 2020

오 경제학과시구나 ㅋㅋㅋㅋ 반갑습니다! 가까운 지인 가족 분들 중 한 분도 외대 경제학과 나오신 것으로 알고 있어 더 반갑네요

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수학복수전공의대생 · 1177692 · 23/04/04 19:50 · MS 2022

맥클로린 급수를...

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수학복수전공의대생 · 1177692 · 23/04/04 19:55 · MS 2022

저런 문제 옛 기출인지 오르비인지에서 본 것 같아요!
미적 개념 처음 배울 때 재밌어했던 식 정리 중 하나네요

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책참 · 1020565 · 23/04/04 19:57 · MS 2020

삼각함수 극한 처리할 때처럼 얘도 급수 다 박아버리면 lim 분배하기 쉽긴 하겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 옛 기출에도 있었다면 완전 재밌겠네요!! 개인적으로 수능이나 적어도 평가원 모의고사 25번 쯤에 한 번 나와도 재밌을 것 같다는 생각을 항상 해요

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수학복수전공의대생 · 1177692 · 23/04/04 19:58 · MS 2022

최근에 오르비에 어떤 분이 올리신 건 본 것 같은데 요즘 극한 계산만으로 25~26 정도 난이도는 안 내는 추세더라고요

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책참 · 1020565 · 23/04/04 20:45 · MS 2020

혹시나 제가 교사나 교수 되어 수능 출제하러 들어가면 제가 출제해야겠네요 ㅎㅎ

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