[미적 자작 문제] 무리수 e의 정의
게시글 주소: https://orbi.kr/00058891974
사실 이 문제는 '무리수 e의 정의'라는 이름을 붙이는 순간 풀이 과정이 뻔하기 때문에... 숨기는 것이 맞다만 그래도 문제에 이름은 붙여야하니 ㅜ 달았습니다. 어떤 변수 a에 대해 a가 0에 한없이 가까워질 때 (1+a)^(1/a) 꼴이 수렴하는 값을 e로 정의한다는 점을 공부했죠? 이를 단순화해서 바라보면 어떤 극한식에서 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하면 e와 관련되었을 것이라는 생각을 해볼 수 있습니다.
여담이지만 [e^x-e^(-x)]/2는 쌍곡선함수 중 한 종류로 sinh(x)로 표기하기도 합니다. 추가로 cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2이며 [sinh(x)]'=cosh(x)와 [cosh(x)]'=sinh(x)가 성립하는 등 삼각함수와 유사한 성질을 나타낸다는 점에서 표기에 sin, cos이 들어간다고 알고 있습니다.
추가로 한국 고등학교 교육과정에서 다루는 6가지 삼각함수의 풀네임은 sine, cosine, tangent, cosecant, secant, cotangent입니다!
+문제 아이디어는 작년에 논술 준비하며 봤던 어떤 문제로부터 얻었습니다! 다시 말해 온전히 제가 떠올린 것은 아니에요
[해설]
lim x->0인 상황에 대해 식 변형만 해볼게요! 핵심은 무리수 e의 정의를 활용하는 것과 초월함수의 극한을 활용하는 것입니다. 우선 '어떻게 무리수 e의 정의를 떠올리냐?'라는 질문에는 '지수함수 꼴 함수식에서 밑이 1로 수렴하고 지수가 무한대로 발산하는 것은 무리수 e를 정의할 때 사용하는 극한식과 같은 꼴이기 때문'이라는 답을 드릴 수 있습니다. 따라서 무리수 e의 정의식 (1+x)^(1/x)를 활용하기 위해 밑을 1+f(x) 꼴로 바라보고 지수에 1/f(x)꼴을 잡는 쪽으로 식을 변형해볼게요!
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)+2]/2]^[1/sin(2x)]
=[1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]*[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)]]
이제 e로 수렴하는 꼴이 나왔으니 지수식을 정리해주면 되는데 삼각함수와 지수함수가 있으므로 sin(x)/x와 (e^x-1)/x 꼴을 띄울 생각을 해볼 수 있습니다, 우리는 초월함수의 극한을 학습한 상태니까요! (함수의 극한에서 lim를 분배할 때 핵심이 내가 아는 극한으로 극한식을 구성하듯 나타내는 것이죠? 수렴하는 걸 알아야 lim를 극한의 성질에 따라 분배할 수 있으니까요!) 따라서 지수의 식을 변형해봅시다.
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)
=[x^2+9sin(2x)/x+[(e^x-1)/x-[e^(-x)-1]/x]/2]/[sin(2x)/x]
=[x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)]
이제 무리수 e의 정의와 초월함수의 극한을 활용하면 [1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2] 부분은 e로 수렴하고 [x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)] 부분은 19/2로 수렴함을 알 수 있습니다.
따라서 극한값은 e^(19/2), 답은 e^(19/2)
타이핑 했더니 문자들이랑 괄호가 좀 복잡해보이긴 하는데 '무리수 e의 정의'와 '초월함수의 극한'이라는 아이디어만 잡으면 다들 어렵지 않게 값을 구해내실 수 있을 겁니다. 초월함수의 극한 연습하기 좋은 문제라고 생각해요, 물론 식 자체가 복잡해서 수능에는 나오기 힘든 모양이라 생각하고 나와도 논술에 나올 만하지 않나 싶네요 ㅋㅋㅋ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
오우난 1
가슴 메인 등 보조
-
근데 인문계는 사탐선택한애들이 최소한 불리함은 없어야하는거아닌가 2
뭐 공대가겠다는거도아니고 문과학과가겠다는데 변표차별은 좀 아닌듯 ㅇㅇ
-
사학가서 전자복전이랑 한단계 아랫대학 본전공을 전전으로 하는거랑
-
불안할때마다 너 그래서 수능 안칠거야? 라고 스스로한테 물어보면 걍 하게...
-
맞음?
-
물리 48 지구 ㅗㅗ
-
아 국어 실모는 좀 사야겠다
-
넘 좋든데,,,,,
-
감사합니다 1
도움 정말 많이 받았어요! 모두 올해 좋은 결과 있으셨으면 좋겠습니다!
-
저메추 2
해주고 가
-
10덮 빨리 치고싶어용
-
메가 대성 시대북스 오르비북스에서 좋다는 거 선별해서 다 모으기만 해도 웬만한...
-
나같은 산책광은 그냥 팔다리 묶여있는거 같다 >가만히 앉아서 끄적이는 것도 못하는...
-
9모 반영해서 그런가 난이도가 좀 내려간듯. 시즌1은 ㅈㄴ 어려웠는데
-
10덮 목표 5
국수영탐탐 무보정 기준 98 96 1 96 96 탐구는 쌍사라 만점 받아도 저 백분위일듯..
-
사탐런들 망했으면좋겠다 vs 왜그러냐 사탐런도전략성공이다
-
거기애들 ㅈㄴ착함 질문하면 다풀어줌 인강현강 질답게시판보다 훨씬 빠름 물스퍼거들이라...
-
내일 제 생일임 5
헤헷
-
알카에다나 IS 특채 영입 제안 올 듯 ㅋㅋㅋㅋ
-
어이가없는게 스카 빌런들은 조용한거원하면 도서관가래고 도서괌빌런들은 조용한거 원하면...
-
14분 투자하고 2틀함 ㅁㅌㅊ
-
정시로 안뽑다보니 어디 위치다 객관적으로 알 수가 없어서 인식이 궁금함
-
낭자애는 볼록 튀어나온게 포인트라는 댓글 아직도 어지러워서 안잊혀진다
-
나 하니인데 3
하니대갈거다.
-
ㄷ.에서A랑 B랑 같을줄 알앗는데 A가 더 느린 이유 좀요
-
잡도해 질문 6
잡도해 같이하기는 어떤식으로 하는건가요? 심찬우 강사님이랑 강의 들으면서 해설하면...
-
몸무게가 흠... 가슴큰것도 살때메 커보이는 돼지가튼데
-
소주 기준 몇병정도 되시나요? 그리고 술 안 마시는데 흡연하시는 분들은 하루에...
-
화미사문지구 0
백분위 93 96 1 93 88 이면 어디감?
-
처음 맞춘 한명
-
맨날 다이소에서 사던거 이제 안팜..
-
쌤한테 호출당함 ㅜㅜㅜ
-
할 게 너무 많아서 뭘 해야 할지 모르겠습니다 ㅠㅠ 국어 실모 사려다가 기출 분석도...
-
현돌 어때요?? 2
퀄 좋아서 풀긴 하는데 사실 이거까지 알아야하나..?싶은 내용도 있는 느낌이라...
-
내 성격이면 기초 배울 때 하루종일 둥둥거리다가 때려칠거같긴 하지만
-
하 0
숨좀고르고
-
이기는 놈이 다음 정권 먹는거지?
-
문제 이럴게 대충 내도 됨? 답은 머리로 구했는데 눈을 의심하고 써봄 돈내고 푸는 의미가 있나;;
-
둘다 새거 포장만 뜯은 새 시험지입니당
-
국어꿀팁) 1
수능 국어 실모보다 리트 기출 푸는게 돈도아끼고 좋다
-
1일2실모 할까흠
-
주사맞고 약먹구 좀 누워있으니까 살것같네 ㅎ.ㅎ 다행이야
-
쓰읍 5
나쁘진 않은데 좀 아쉽 반성-아는 작품 나왔다고 보기 대충읽지 말자
-
진정으로 완숙된 최종 종합 단계는 '미소년'이다
-
이거 저만 어려웠나요????난 여태 푼거중에 손에 꼽게 어려운데 1컷 엄청 높네…
-
혓바늘 났닥 1
늦게 잔 벌이로구나...
-
수특에는 사회서비스는 일정소득수준 이하의 국민에 대한 비용은 전부 또는 일부를...
-
시즌1이랑 시즌2 풀어봤는데시즌2에거 벽느껴버림 ㅠㅠㅠ시즌1은...
-
댓글만 달았다 하면 5개 돌파 알람 계속 뜸 뇌빼고 쓰는데 감사?합니다?
-
울고 싶다 ㅠ ㅠ
고급수학러지만 행렬, 극좌표밖에 안 배웠습니다,,
그것은 고수1 고수2해서 해요 쌍곡함수는
고급수학 2도 있나요? 그건 몰랐네요 ㅋㅋㅋ
재미있네요! ^^ 혹시 답은 e^10 인가요? ~~
저는 e^(19/2)가 나왔던 것 같은데,, 다시 확인해보겠습니다!
끄악 죄송해요! 2분의 를 계산하는 걸 깜빡했어요! ㅠㅠ
앗 그럼 옳은 풀이 같네요 ㅋㅋㅋㅋ
다른분들도 풀어보실 수 있게 최대한 숨겨서 여쭤볼게용...
(e) ^ (0 + 9 + 1/2 - (-1/2))로 푸는 것 맞는지요?
네, 그 방식 맞습니다! e의 정의를 활용하기 위해 지수에 어떤 작업을 해주어야 하는지, 미적분에서 다루는 '초월함수의 극한'을 다루기 위해 지수에 만들어질 분수식의 분모 분자에 어떤 작업을 해주어야 하는지를 알아내어 적용하는 것이 출제 의도였습니다
좋은 문제 주셔서 감사합니다 선생님! ^_^
풀어주셔서 감사합니다!
그냥 로피탈 하니까 e^19/2나오긴하는데..대학가서 미분적분학 배웠더니 e정의를 까먹었어요...
e = lim x->0 (1+x)^(1/x)
= lim f(x)->0 [1+f(x)]^[1/f(x)]
아하 식변형 좀 하면 나오긴 하겠네요
교과서적 풀이가 중요한 문제라고 생각해서 오늘이나 내일 중 해설 남겨두겠습니다!