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M oㅇmin [1211935] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2023-03-18 14:07:33
조회수 6,045

그릴 수 있으세요? 1편

게시글 주소: https://orbi.kr/00062444271

아래 있는 함수 4개 중 몇 개나 "미분없이" 그릴 수 있는지 한 번 체크해보세요! 대부분이 기출된 함수입니다. 관련해서 알아두면 좋을 팁들도 같이 적어두었으니 확인해보세요.



1. 













다음과 같은 느낌으로 그려집니다.


복잡한 함수를 그릴 때는 근을 체크하는 게 큰 힌트가 되죠. sinx가 0이 되는 곳과 x가 0이 되는 곳을 체크해줍니다. x=0에서는 근이 2개인 걸 알 수 있네요.


이 함수가 우함수인 것도 확인이 되어야 합니다. 기함수x기함수= 우함수니까요.

참고로 미분 가능한 우함수는 x=0에서 미분계수가 무조건 0입니다. 


이렇게 근을 찍어낸 뒤에는 다음 정보를 통해 개형을 그려낼 수 있습니다. 


y=xsinx에서 sinx 부분은 x가 커져도 -1~1 범위의 값을 가지지만, x 부분은 점점 커지죠. 

이에 따라 위 그림처럼 해당 구간마다 sinx가 확대된 느낌으로 그려주시면 되겠습니다. 


참고로 이 함수는 기출된 함수입니다.

그냥 수식으로 밀어붙여도 괜찮긴 하지만, 대충 어떻게 생겼는지를 그려냈다면 더 접근이 수월하지 않았을까 싶네요. 

답은 5번입니다. 





2. 










얘는 다음과 같이 그려집니다.

초록색 직선은 y=x입니다. 점근선이 y=x인 셈이죠. 

x가 양수일 때는 y=x보다 아래에서, x가 음수일 때는 y=x보다 위에서 접근할 겁니다. 


y=x- 1/x을 해석해보면 알 수 있죠. (x가 양수일 때는, x-  1/x은 x보다 살짝 작은 값을 가짐...과 같은 해석이요) 

한편 근이 1과 -1임도 알 수 있습니다.






3.











이 예시는 직선과 곡선의 차이함수를 그리는 법에 대해 얘기하고 싶어서 가져왔어요. 역시 기출된 함수입니다.

답은 586입니다. 




저는 개인적으로 직선과 곡선의 차이함수는 다음과 같이 그립니다. 일단 직선을 먼저 그린 뒤에

얘를 x축이라고 생각하고 곡선을 그립니다.

그러면 얘가 그리고자 한 함수가 됩니다.

직선과 곡선이 둘 다 x절편이 1인 상황이라서 x절편이 1이 되겠네요. 


근데 -1/10이라는 기울기가 드라마틱하지 않아서 아쉽네요.

직선 기울기가 -1인 상황으로 바꿔서 설명을 이어가보겠습니다.

직선 y=-(x-1)이 x축이라고 생각하고 y=lnx를 그린겁니다. 이에 따라 그려진 주황색 함수는 y=lnx -(x-1)입니다. 

'y축 근처에 가서 왜 짤렸지?!'라 생각하실 수 있는데, 계속 아래로 떨어지는게 맞습니다. y절편은 존재하지 않아요! 그냥 y축과 너무 가까워서 저 프로그램이 표현을 못한 것 같네요.


원래 y=lnx는 기울기가 계속 0에 가까워지잖아요? 점점 x축과 평행해지는 느낌으로요. 그렇지만 점근선이 있지는 않죠. 

위에 그린 주황색 곡선 y=lnx -(x-1)는 x축이 직선 y=-(x-1)이라고 생각하고 그린 곡선이므로 기울기가 점점 -1에 가까워져야 합니다. 그렇지만 점근선이 있진 않아요. 



이는 차이함수 개념을 이용한 접근인데요, 이 예시 뿐만 아니라 폭넓게 사용됩니다. 


추가해서 알아두면 좋을 점은 곡선에 직선을 더하거나 빼도 볼록성은 변하지 않는다는 사실입니다. 두 번 미분하면 일차항은 어차피 사라지기 때문이죠. 





4.






사실 이건 대놓고 '이거 그려봐라' 하진 못할 겁니다. 그렇지만 워낙 많이 나오는 함수라, 그냥 알고 계시는 걸 추천드려요. 관련해서 할 얘기가 두 개 정도 있습니다. 일단 그려보자면...

이런 느낌으로 그려집니다. 

일단 x가 1보다 작은 부분에서는 음의 무한대로 가는게 자명하죠. 분모와 분자가 다 상황을 그렇게 만들고 있어요. 

x가 양의 무한대로 갈 때에는 log가 증가하는 속도보다 x가 증가하는 속도가 더 커서 0으로 수렴합니다. (이 함수가 출제된다면 이건 조건에 주어질 거에요. 아래처럼요)


그 뒤에 미분해서 극값을 찾아보면 x=e일 때 극대가 됨을 알 수 있습니다.

한편 다음 함수도 볼게요.

얘도 미분해서 극대인 x값을 찾아보면 x=e일 때입니다. 밑이 달라졌는데 극값이 계속 e에서 생기는게 신기하죠?

하지만 잘 생각해보면 당연함을 알 수 있습니다. 

사실 모든 로그함수는 닮음입니다. 상수배 했을 뿐이죠. 그래서

 

이 함수는 그냥





얘를 ln2 배 한 것에 불과합니다. 즉, 극대가 되는 x좌표가 변할리가 없어요.





한편, 

를 그리는 과정을 기울기로 해석해볼 수도 있습니다. 위 함수는 (0,0)과 (x,lnx)를 이은 직선의 기울기를 의미해요. 일단 y=lnx를 그려볼게요.

원점과 이 함수 위의 어느 한 점을 이은 기울기는 증가하다가, 감소하는 양상을 보이겠죠. 최대가 되는 지점은 원점에서 날린 직선이 lnx에 딱 접할 때입니다.

접점의 x좌표는 e이며, 이떄의 기울기는 1/e입니다. 

이걸 바로 구하는 법은 아래 링크에 나와있어요


https://orbi.kr/00062374843



따라서 함수 

는 x=e일 때 극값 1/e를 가집니다.


이와 같이 식을 기울기로 해석하는 것도 종종 쓰입니다. 평가원에 나올 거 같진 않지만, 한 번 생각해볼 가치가 있는 아래 예시를 보실게요.

얘도 단위원 위의 점 (cosx.sinx)와 (-2,0)을 이은 직선의 기울기 함수로 해석한다면, 미분 없이 어디서 극값을 가지는지, 극값은 얼마인지, 개형은 어떻게 그려지는지 전부 알 수 있습니다. 

이게 한 주기에요! 

주기는 2파이, 

x=2파이/3 일 때 극대 1/루트3, 

x= 4파이/3 일 때 극소 -1/루트3 이겠네요. 

특수각 발견하시면 계산 없이 끝납니다!





준비한 내용은 여기까지입니다. 2편으로 찾아뵙겠습니다. 

감사합니다

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M oㅇmin [1211935]

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