칼럼6) 탄젠트 이모저모
게시글 주소: https://orbi.kr/00062085590
탄젠트 함수의 성질 두 가지를 소개해드릴까 합니다. 오늘 내용은 가볍고, 나름 알려진 편입니다.
일단 문제입니다.
(당연히 자작! 제가 드리는 문제에서 기출이라고 따로 언급이 없으면 다 자작일거에요)
원래는 f(x) 정의역을 좀 달아줘야 하는데(x=pi/2, 3pi/2 ...에서 정의 안 됨 이런거요) 예제문제니까 패스했습니다. 가볍게 보이는게 아무래도 더 중요하죠(?)
아무튼 문제를 풀어보겠습니다. 우선 이 상황이 왜 결정되는지를 느껴야 해요.
이 문제뿐만 아니라 다른 수학 문제를 풀 때에도 마찬가지에요. 어떤 요인으로 인해 상황이 결정되었고, 자신은 계산만 하면 답이 원하는 값을 찾을 수 있다는 걸 늘 느껴야 합니다.
그림을 그려보겠습니다.
점 A의 위치가 정해지면 점 B의 위치는 자동결정입니다. A 위치에서 5pi/2만큼 오른쪽으로 간 곳에서 함수에 점 찍어주면 그게 B에요.
한편 탄젠트 함수는 pi만큼의 주기를 가진 함수입니다. 그래서 아래 그림처럼 5pi/2 차이를 pi/2 + 2pi로 인식해볼 수 있어요.
pi/2만큼을 먼저 이동해주면 A가 위치한 것과 같은 날개(?)에서 B'이 찍힙니다. 그리고 그거와 위상이 같게끔 2pi만큼 이동해주면 세 번쨰 날개(??)에 B가 찍혀요.
위상이라던가 날개라는게 수학적 용어는 아닌데요, 직관적으로 전달하기에 이만한게 없더라구요. 앞으로도 종종 이렇게 표현하겠습니다.
여기서 B'과 A의 관계에 주목할 필요가 있습니다. 탄젠트 함수에서 x좌표 차이가 pi/2라는 것은 특별하기 때문이죠. 이유는 다음과 같습니다.
각이 pi/2 즉 90도 차이 난다면 두 직선의 기울기는 곱했을 때 -1이 나오는 관계일 것입니다. 함수에서 이를 보자면
점 B' 그리고 점 B의 y좌표가 k파이라고 하면 점 A의 y좌표는 -파이/k가 됩니다. 이 함수는 pi tanx기 때문에 그냥 k,-1/k가 아니라 거기에 파이까지 곱해진 겁니다.
그런데 아직 상황은 결정되지 않았어요. 영상을 보듯이 다음 과정이 연속적으로 보였으면 좋겠습니다. a가 -pi/4와 0 사이를 오갈 때 점 A 위치가 각각 결정되고, 그에 따라 B의 위치도 결정되는... 그 모든 상황이 아직 가능해요. 아직 a가 결정되지 않았으니 당연히 상황은 결정되지 않았습니다.
그래서 조건이 하나 더 주어져 있습니다. 점 A와 점 B를 이은 직선의 기울기가 1입니다. x좌표 차이가 5pi/2일 때
y좌표 차이도 5pi/2여야 합니다.
답은 2가 되겠네요. A의 x좌표가 -pi/4에서 0 사이에 있기 때문이죠.
한편 첫 번째 줄에서 두 번째 줄로 넘어갈 때, 정석은 양변에 k를 곱한 뒤 이차방정식을 푸는 것입니다. 근데 그렇게 하지 않고 바로 2 혹은 1/2이라고 찾을 수 있었으면 좋겠습니다.
일단 이차방정식 꼴이 될 것이니 k 값이 오직 2개라는 걸, 또 두 근이 역수관계에 있을 수밖에 없다는 걸 안 상태에서 (1, -1, 0이 아닌 어떤 수 a가 위 식을 만족한다면 1/a도 만족할 테니까요.) k=2를 넣으면 만족하니까 1/2도 만족하겠네생각하고 찾아내시는 겁니다.
숫자도 맨날 나오는 거만 나와서 그렇게 부담되지도 않습니다. 이미 이렇게 많이들 하고 계시기도 할거구요.
한 발짝 더 나아가서
이런거도 이제 바로
다음이 보이면 좋죠. 물론 중요한 내용은 아니고 그렇게 많이 나오는 계산도 아닙니다. 소소한 팁 드린거에요!
다시 본론으로 돌아가겠습니다. 삼각함수 문제는 주기와 대칭이 전부 아니냐고 말하신다면 .. 맞는 말이긴 합니다. 그런데 가끔 tan 문제에서 주기와 대칭 이외의 성질 두 가지를 묻기도 하더라구요. 지금까지는 그 성질 두 개 중 첫 번째를 소개드린겁니다.
tan 함수에서 x좌표 pi/2차이 -> 함숫값 정보 도출 가능
평가원에 나올 확률이 높냐고 묻는다면.. 전 낮다고 봅니다. 하지만 이 내용 자체로 좀 생각할 거리가 있고, 1년 내내 n제와 사설에서는 종종 보실 거기 때문에 소개드려봤습니다. 두 번째 성질도 마찬가지에요!
그 두번째 성질도 우선 문제로 소개해드리겠습니다.
(내리면 답 스포)
답은 4입니다. 풀이는 따로 없는데 방금 못 푸셨더라도 아래 내용 읽어보시면 스스로 푸실 수 있을거에요.
탄젠트 곱이 -1일 때 두 각 사이의 관계도 존재하지만, 탄젠트 곱이 1일 때에도 관계가 존재합니다.
곱이 1이라는 건 두 기울기가 역수관계에 있다는 것인데요,
역수 관계에 있다면 둘은 y=x에 대해 대칭적으로 그려집니다.
기울기 n, 그리고 1/n인 함수를 볼게요.
기울기가 n이라는 건 x좌표가 1 증가할 때 y좌표가 n 증가하는 것이고
기울기가 1/n이라는 건 y좌표가 1 증가할 때 x좌표가 n 증가하는 것이기에
둘이 y=x에 대해 완전히 대칭적인거죠.
즉, 두 각의 평균이 pi/4라는 겁니다.
(둘 다 동경을 예각으로 표현했다고 했을 때요.)
탄젠트 함수에 이를 나타내어보면
x축에 제가 pi/4, 그리고 등간격 표시를 해놨습니다. 어떤 의미인지 이해가 가실거라 생각합니다.
알려드린 두 성질을 tan 함수에 다 표시해보겠습니다.
tan 함수와 y=1/n 그리고 y=-1/n의 교점은 원점에 대하여 대칭일테니까 x좌표가 완전히 뒤집힌 것도 보입니다.
이 두 가지 성질 외에는 전부 주기와 대칭으로 끝날 겁니다. 평가원은 아마 주기 대칭으로 끝나게끔 문제를 낼 거 같지만 그럼에도 알려드린 이유는... 위에 말씀드린대로입니다 ㅎㅎ
준비한 내용은 여기까지입니다. 혹시 원하시는 주제 있다면 댓글로 언제든지 자유롭게 요청해주세요!
좋아요 부탁드리고, 팔로우해두시면 앞으로 나올 좋은 칼럼들을 놓치지 않고 확인하실 수 있습니다.
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
오공완! 5
오늘도 하얗게 불태웠다....ㅎㅎ 평소보다 한 시간 일찍 공부를 끝낸 이유는 9모...
-
잠 6
이 안 온 다
-
??
-
3딱 고정인데 신텍스? 알고리즘? 뭐부터 해야할까요
-
나시입고 맨발로 오는 너무드러운 남자
-
전쟁사 이야기 65편 - 튼튼한 군대는 어디에서 나오는가 3
최근 군대에 관해서 안타까운 죽음과 사건 사고들이 너무 많습니다. 특히 채해병...
-
수강신청 꿀팁 5
신임교수가 (교수라 하긴 하는데 강사지) 도박이라 그러던데 꿀일 확률이 높음 어렵게...
-
더프 69점인데 7모98점(심지어 화작 80퍼짜리 하나 틀림) 점수 폭 차이가 꽤...
-
잘지내요 님들 6
걍 다시 접음 2주 좀 더 지났는데 죄다 죽었네 덕코는 첫댓에게 모두 드리도록
-
재종쌤 수업 + 김준T 크포 완강 직전 이고 재종수업에선 양적관계 후 2, 3 단원...
-
Goat~ 22 30 다 풀고 11을 못 푼 경험을 시켜주심 깜짝놀랐네
-
비밀번호계속틀려서독서실에서못나가고있었는데 계속 엘버잡고기달려주셔서 감동했어요...
-
https://www.youtube.com/live/ZsSBUc7yqZQ?si=69L...
-
챗GPT로 국어 독서만 있는 모의고사 만들었는데 풀어보실분? 2
이게 오류가 있는지 없는지는 저도 몰라요. 안풀어봤거든요 ㅋㅎㅋㅎㅋㅎㅋㅎ 칸트지문은...
-
예방주사. Q1 원하는 대학에 합격하면 제일 기쁠 사람은 누구일까요? Q2 수능을...
-
헉
-
3모 61점 5모 51점 6모 72점 이번에 7모 76점으로 2등급이었는데(20...
-
노베이스 구수생 2
17,18,19,21,22,23,24 이번이 진짜 마지막..
-
짝사랑안하고싶다 1
존나걍비참해짐사람이
-
ㅈㄱㄴ
-
듣기 귀찮은데 짧은거있으면 인강 ㅊㅊ좀
-
27짜리 두개…….
-
조금 늦었지만 얼버취
-
사서 1회 풀었는데 개맛도리네 난 이런 하프 모고를 원했다고 쿠케케
-
2.0 9.0 4.0 9.0 이렇게 휙휙 바뀌네
-
수2보다 수1이 부족한 거 같아서 N제 양치기 하려는 데 추천해주세요 감사합니다
-
제 이미지는 어떠한가요 21
적어주시면 님 이미지도 적어드림
-
사직한 전공의들 "차라리 미국 가자"?…'내외산소' 종말 현실 되나 5
사직 전공의들에게 '마지막 부활 찬스'가 22일부터 주어진다. 정부는 이날부터 사직...
-
지금 김기원쌤 실전반 듣는데 연고한반 생겻길래.. 현재 연대가 목푠데 반 옮기는게...
-
의대나오면 고어물 어떰 10
비교적 잘참음?
-
최근에 유행했던 밈 중에 응 자살하면 그만이야~ 란 밈있는데 한번 개꼬라박아보면...
-
수학 6모 80이였는데 6모이후로 모든 사설을 망치고있어요ㅠㅠ 부끄럽지만 7덮도...
-
뭔가 예전에 발라드들으면서 계속했는데 이제 얼마안남아서 노래안듣고 푸는데 뇌빼고푸는...
-
평가원 3등급임
-
칼럼) 해상도론 6
오늘은 제가 썼던 수능 공부법을 들고 왔습니다.(3~6등급 필독) 나름 효과를...
-
쎈 풀어야됨? 계산 연습용으로 n제랑 병행할까싶은데 못 푸는건 아니고 계산 실수가 간간히 나와서
-
미나미노 카제니 놋테 하시루와
-
내일부터 도서관 다니려고 하는데 공부하면 민폐라고 하는 사람들이 꽤 있는거 같아서요...
-
물리 인강 0
고1 2학년때 물화생지를 다해야해서 여름방학때 물리를 하려고 방인혁 더 비기너를...
-
평가원 문학 0
평가원 문학 10개년 모아서 분석하고 싶은데 교재가 있을까요..??
-
긴 금발이야 나>< 11
넘~므 좋아
-
와 100강... 언제쯤 다 들을까요
-
보기&중략 읽고 지문 처음부터 죽 읽어나가다가 볼드체, 밑줄 나오면 바로 선지판단...
-
수학 공부를 진짜 대충해서 기출은 한번정도 봣고 실모 일주일에 한두번 푸는걸로...
-
해도되나요… 다른 과목은 다 선행 개념 아예 뺐는데 물리는 진짜 하고싶던 주제가...
-
아무데나 상관없음
-
시간없어서 ebs 안풀고 강e분만 들을건데 ㄱㅊ나요?
-
맞팔 구해요 12
별볼일없는 N수생입니다 할 짓 없으면 옛날에 적어놓은 문학책 글귀들 인덱스 복붙해서 올립니다
-
프랙탈, 삼도극 거의 뒤진건 아는데 합성함수 미분법도 비슷한 상황인가요? 아진심...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/almeng/025.png)
진짜 천잰가 잘 읽고 갑니당![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
뿌듯하네요 ㅎㅎ 감사합니다pi/2 차이이면 곱이 -1이다... 처음 알았네요!
좋은 정보 감사합니다!
수직인 두 직선의 기울기의 합이 -1이다를 처음 알지는 않았을텐데요..
정확히는 (n+1/2)pi를 쓰려고 했어요. tan값과 그 그래프와 연결지으려는 생각은 깊게 하지 못했었다는 뜻이에요. 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1인건 물론 기본적으로 알아야 하는 사실이고요.
와우 님 뭐꼬