칼럼) 수학 질문 총정리 _ 수학 공부에 대하여

 이렇게 이른 시간에 글을 올린 이유는 차분히 오랫동안 읽어야 하는 글이기에

미리 올려드려야 흡수하실 것이라고 생각했기 때문입니다. 

전부 흡수해서 여태 내가 수학 공부를 잘해왔는지, 아니면 잘못했으니 교정해야 하는지

그 지표로 생각해주시면 될 거 같습니다. 

솔직히 말해서 제 이전 칼럼을 온전히 이해하신 분들이라면 겹치는 내용일 것입니다..

어쩔 수 없죠. 그것이 본질인데, 제가 본질이 아닌 것을 말해드릴 수가 없으니까요.

 자꾸 같은 질문이 반복된다는 것은 많은 수험생들이 여전히 이 같은 문제들로 인해

고심하고, 고생하고 있다는 것을 의미한다고 생각했기에

저번 국어 시리즈에 이어서 수학에 대해서도 수학 질문에 대한 총정리를 쓰게 되었습니다!

필요한 것만 발췌해서 읽으셔도 좋지만, 사실 다 읽어보는 것을 언제나 추천하는 편이긴 합니다 ㅎㅎ

수학 공부법에 대한 총망라를 이 게시물로 해볼게요! 

아마 여길 벗어나는 질문은 있기 힘드실 거에요.

오늘도 시작합니다...!

-수학 공부란 무엇인가

 수학 자체라기보다는 수능 수학 공부가 뭔지에 대해 얘기해봅시다.

‘수학은 하나의 언어’입니다. 

이 사실을 눈으로 보는 게 아니라 온전히 이해하여 몸소 체감한다면,

수학에 대한 눈이 전혀 달라질 겁니다. 수학이 언어다… 무슨 뜻일까요?

수능은 절대 새로운 걸 내지 않습니다. 기존에 나왔던 표현이 응용될 뿐입니다.

우리는 기출과 사설 문제를 통해 접했던 표현들을 ‘언어’처럼 다뤄야만 합니다.

언어처럼 다룬다는 뜻은 수식에서 의미를 찾고, 그 수식이 어디에 있더라도

기존에 찾은 의미로 치환 가능해야 한다는 뜻입니다. 

마치 우리가 한글이라는 기본 글자의 조합으로 만든 단어의 의미를 사전에

학습하고, 아무렇지 않게 일상에서 사용하는 것처럼 수식도 그렇습니다.

계산은 기본 소양이고, 최대한 식의 의미를 머릿속으로 생각해서 해석하고,

모든 해석이 끝난 후 계산을 시작해야 합니다.

무지성으로 식만 쭉 나열하기보다는 그 식에서 의미를 찾아내야만 합니다.

자신의 식이 길어졌다면, 그것은 언어의 입장에서

쓸데없는 말이 너무 많이 들어가 말꼬리가 길어진 겁니다.

짧고, 간결하고, 들어갈 건 다 들어가있게 우리는 말해야(수학을 풀어야) 합니다.

수능은 시간 안에 미리 정답으로 정해진 단어들을 모두 말하는 시험입니다.

그러니 짧고 간결하지만, 그 안에 정답인 모든 단어를 포함해서 빨리 말해내야 하는 겁니다. 

이게 도대체 무슨 말이람… 어딜 멋진 척 비유를 해?

과연, 이 비유가 어떤 대단한 내용을 포함하고 있을지,

우리 차근차근 알아보자고요. 

수학에서 제가 하고 싶은 얘기는 이 비유에 다 들어있습니다. :)

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-제가 개념은 충분한데 자꾸 틀리는 문제가 있어요…

 이런 질문 참 많죠. 답은 명확해요. 개념이 부족한 거에요.

엥? 저 다 아는데요…? 

개념을 ‘안다’고 말하려면, 그 개념이 어디에서 적용되는지도 알아야 합니다.

간단한 예를 들자면, 여러분은 사인 법칙을 아시나요?

네!!! 저 알아요!!!

오 그럼 문제 낼게요!

어..ㅇ..어..?

이게 우리가 열심히 교과서로 배우고 시험을 보면 일어나는 일입니다. 

왜 우리는 시험에 나오면 그대로 못 풀어낼까요?

원인이 여러 가지가 있지만, 찬찬히 나눠서 봐볼게요.

1_ 발문에서 말하는 게 내가 아는 바로 그 개념인지 알지 못한다

이런 상황의 가장 큰 문제는 한 번에 문제에서 뭘 말하는지 알아내지 못할 경우에 자기도 모르게 멍때리게 됩니다.

그냥 아무 생각없이 문제를 쳐다보며 어떤 생각이 떠오를 때까지 기다리죠.

특히 모의고사를 치다가 이런 순간이 오면 그냥 시간이 삭제됩니다. 

그렇기에 이런 일이 없도록 언제나 문제를 풀 때 의식적으로 풀 수 있도록 장치를 만들어야 합니다.

이 경우에 발문을 자신만의 언어로 바꾸는 연습이 그러한 장치로써 필요합니다.

항상 자신이 매번 쓰는 익숙한 표현으로 바꾸어 발문의 한 글자도 놓치지 않도록 작업을 해야합니다. 

이 부분에 대해서는 아주 자세히 써놓은 칼럼이 있으므로 주소 첨부합니다 :) https://orbi.kr/00042973944  

2_  개념만 따로 있을 때는 알겠는데 어떻게 사용하는지 모르겠어요..

 이것도 엄청나게 자주 나오는 문제입니다. 특히, 처음 미분을 배울 때 우리 모두가 겪었던 문제일 겁니다. 

미분법을 못하는 학생은 없습니다. 단순히 지수 앞으로 내리고 하나 까고.

근데 문제는 미분이라고 적힌 단원 연습문제를 풀 때 학생들은 어쩔 수 없이

무지성으로 일단 미분을 하고 봅니다. 그냥 아무 이유없이 해요.

왜냐면 미분 단원이니까요 ㅎㅎㅎ 그러고 맞춘 다음에 정말 자신이 맞췄다고 생각합니다. 저도 그랬어요…

그치만 어떤 문제를 보고 그걸 미분해야겠다는 생각을 하는 것이,

문제 풀 때 가장 첫 출발점이라고 할 수 있습니다. 

이걸 저는 앞으로 도구로써 개념을 사용한다고 표현하겠습니다. 

이렇게 수학을 가르치는 입장에서 굉장히 학생들에게 난처하단 생각이 들 때가 학생들이 도구로써 개념을 사용하지 못할 때입니다…

천천히 설명해볼게요.

제가 어떤 문제를 그래프를 그려서 풀면, 학생들은 그걸 왜 그래프로 그렸냐고 합니다. 

저는 그래프라는 친구를 ‘시각화하여 특별한 상황을 쉽게 떠올릴 수 있게 해주는 도구’라고 생각합니다. 

따라서 문제의 상황이 상상이 잘 되지 않아 시각화하고 싶을 때 자연스럽게 사용합니다.

미분이라는 친구도 볼까요? ‘함수의 개형을 알게 해주는 도구’입니다. 

저는 수학을 풀며 편하게 제가 필요할 때 이런 개념을 ‘도구’로써 꺼내씁니다. 

저와 다르게 아직 수학에 익숙지 않은 학생들은 저런 개념에 대한 이해가 부족하기 때문에 도구로 활용할만큼의 여유가 없습니다.

특정 개념을 완벽하게 안다고 하려면 어떤 상황에서 이런 개념을 내가

도구로 이용할 수 있는지에 대한 정리 또한 되어있어야 합니다. 

이런 걸 보통 입시판에서는 ‘실전 개념’이라고 합니다. 

따라서 언제 어디서 어떤 개념을 도구로 쓸 것인지를 정리하는 게

수능 수학의 처음이자 끝이라고 할 수 있습니다. 

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-수학에서 피지컬은 무얼 뜻하는 것인가요?

흔히들 피지컬이라는 단어를 쓰는데, 수학에서의 피지컬은 

가진 도구들로 풀리지 않는 상황에서 강제로라도 도구를 만들어내는 능력이라고 보시면 됩니다. 

그렇기에 베스트는 우리가 가진 도구들로 수능에서 모두 풀리는 것이고,

그렇지 않을 경우를 대비해 피지컬을 길러놔야 즉석에서 대처가 될 겁니다. 

하지만, 수능날 충분할 정도로 개념을 도구로써 활용해보는 연습을 하면

자연히 피지컬은 길러집니다. 

이미 여러분들이 여러 번 개념을 도구로 써보며 도구들을 정리하면서, 

모르는 문제에서 도구를 창출해내는 피지컬 또한 길러졌거든요. 

그래서 우리는 기출을 통해 ‘실전 개념’을 준비하고, 

그렇게 준비한 실전 개념 (생각의 회로)을 언제 어느 문제에서 쓸지

정리를 해야 하며, 그 과정에서 길러진 피지컬을 혹시 모를 수능장에서

쓰게 되는 겁니다. 

그러니 피지컬이 압도적으로 강하면, 정리 안 했어도 그 자리에서 바로바로 실전개념을 만들어내고, 문제와 연관지어 풀어버리겠죠… ㅎㅎ

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-계산 실수가 너무 잦습니다. 방법이 있을까요?

우선 저기있는 ‘실수’라는 것부터 고쳐야 합니다. 

실수가 아니에요. 웬만한 사람들은 계산 실수를 안할 계산 능력을 갖고 있습니다. 

계산 실수가 나오는 이유는 계산력의 문제보다 그 문제를 풀 때이 집중력 차이입니다. 

네..? 당연히 시험 보고 있는 동안 풀집중하고 있는데 무슨 소리신가요…

아닙니다.

우리는 한 문제를 풀 때 모두 풀집중한 상태가 아닙니다. 

주로 문제 풀이를 떠올릴 때 제일 집중하고 그 이후 답이 나왔다는 생각이 짙어질수록

여러분의 집중력은 반비례하여 감소하게 됩니다. 

다왔다는 안도감. 이걸 우리는 제일 조심해야 합니다. 

풀이가 떠올랐으면, 절대 그 문제를 틀려서는 안됩니다. 그 생각을 하세요.

??: 아아 알겠어 알겠다고…. 집중을 더하라는게 대책이면 누가 말 못해주냐… 한물 갔네 독존도;;;

잘 생각해봅시다. 여러분이 집중력을 잃는 상황을.

1번. 무얼 해야 할지 몰라 괜히 무언가 끄적일 때 실수하십니다.

초반에 풀이가 떠오르지 않아 연하게 끄적일 때 잘못 표기했다가

문제 끝날 때까지 모르고 있다가, 풀이를 알아도 오답 냅니다. 

2번. 풀이는 떠올랐는데, 조건을 하나 빼먹었다는 것을 깨닫고 고칠 때 실수하십니다. 

다시 고칠 때 숫자만 바꿔야 하는 게 아니라

빼먹은 조건으로 인해 잘못됐다고 생각한 케이스가 부활하거나 

오히려 맞다고 생각한 케이스가 잘못됐을 수 있고, 

당황한 나머지 여기서 멘탈 갈림과 함께 실수가 나옵니다. 

3번. 풀이도 잘 풀어나갔고 함숫값만 내면 되는데, 그만 안도할 때 실수하십니다. 

다 했다는 생각을 하는 순간, 이미 수학 문제에 대한 몰입이 깨지셨잖아요. 

다했다고 생각을 했으니까! 그 순간 하나 빼먹습니다. 

자 우리 저 세 가지 공통점을 찾아봅시다. 

여기서 제가 왜 ‘실수’가 아니라고 하는지 나옵니다. 

저 세 가지 상황이 안 나오게 하면 실수는 발생하지 않습니다. 

즉, 저 상황이 발생하면 필연적으로 실수가 발생합니다. 더이상 실수가 아니죠.

이건 실력 차이입니다. 자 실수가 절대 나오지 않게 회로를 짜드리겠습니다… 

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라는 것은 이미 제가 썼습니다. https://orbi.kr/00042973944  

아까 첨부한 것과 같은 것입니다. 

이 칼럼에 나온 문제 풀이대로 풀어서는 1번과 2번 상황이 나올 수가 없습니다. 

다만, 저 칼럼에 1,2번은 설명이 충분하나 3번이 조금 부족한 거 같아 첨언합니다. ( 저 칼럼에서 ‘백스텝’이라고 쓴 것이 바로 3번입니다. )

정답이 거의 나왔다고 생각될 때 잠시 멈추세요.

어차피 정답이 거의 나왔다고  한 순간 한 번 몰입이 깨졌으므로

의식적으로 '아 나 몰입이 깨졌구나..'라는 생각을 하고,

그럼 몰입 깨진 김에 내가 지금까지 잘했는지 검토나 하자! 라는 생각을 하세요!!

놓친 조건은 혹여나 없었는지 계산은 안 틀렸는지 아주 잠깐 30초만 점검하세요.

그리고 답을 내주세요. 

이 30초의 여유. 아무것도 아닌 것 같지만, 시험 전체를 결정짓는 30초가 될 수 있습니다. 

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-평소에 N제는 잘 푸는데 모의고사만 풀면 시간도 오래 걸리고 틀려요...

우선 생각해볼까요. 과연 이 증상이신 분은 충분한 실력이 확보됐을까요?

아니니까 제가 질문을 드렸을 겁니다. 

한번 이번 고3 3월 학평 문제로 생각해볼까요?

다음의 문제들은 풀더라도 상위권과 중위권의 속도 차이가 명확했을 문제입니다.

속도 차이라는 것은 '얼마나 빠르게 정확한 풀이를 찾아내느냐'를 얘기하는 겁니다.

돌고 돌아 우연히 답을 도출하는 것이 아닌 문제를 보고 풀이를 바로 생각해내는 거죠. 

아래의 문제들은 객관적으로 쉬운 문제가 맞습니다. 

하지만, 과연 여러분들은 '쉬운 문제'를 '쉽게' 풀고 있을까요...?

쉽게 안 풀면서 이 문제들을 '쉬운 문제'라고 하고 있지는 않은지요.

그걸 성찰해봅시다. 그게 우리가 반성해야 할 중요한 것 중 하나입니다. 

배울 수 있는 것 : 공차로 몰아가기

배울 수 있는 것 : 차이함수 & 이차함수 넓이 공식

배울 수 있는 것 : 삼차함수와 그 도함수인 이차함수의 관계 & 이차함수의 비율과 넓이

배울 수 있는 것 : Integral with 기함수 범위조작

배울 수 있는 것 : 구해야 하는 정답의 모양 조작 (각 theta로 ) & 'Lim 무한대'에서의 극한값 조작

 이렇게, 중위권과 상위권의 차이나 혹은 상위권과 최상위권의 차이가

의외로 어려운 문제에서만 갈리는 것이 아니라 쉬운 문제에서도 갈림을 알 수 있었습니다.

쉬운 문제를 쉽게 풀기. 이 쉬운 것을 하는 사람이 그리 많지 않아요.

우리는 절대 이런 문제들을 쉬이 넘겨서는 안 될 겁니다. 

우리의 목표는 '정확하게'입니다. 

언제나 정확하면 빨라집니다.

최선의 방법을 '정확히' 알아내서 바로 실행한다. 

그런데 느릴 수가 있을까요...

결론은 의외로 상위권과의 차별점이 어려운 문제가 아닌,

쉬운 앞 문제를 얼마나 깔끔하고 빠르게 처리하는가의 문제가

모고 점수를 가른다는 것을 명심하고 쉬운 문제부터 '쉽게' 풀 방법에 대해 연구합시다...!

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그래서 제가 어떻게 수학 공부를 해야 한다는 거죠?

1. 기출로 생각의 회로 개설

2. 생각의 회로를 다른 사설 문제에 풀어보며 보완

3. 모고를 통해 내가 생각의 회로를 '실제로 사용'할 수 있는지 확인

4. 모고에서 발견한 부족한 회로를 보완 및 새로 개설

생각의 회로가 무엇이죠...?

예시 ------> https://orbi.kr/00042681929 _ 수학의 생각의 회로_ 시험만 보면 떡락하는 당신

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됐고, 내게 모고를 잘 푸는 방법에 대해 알려줘.

깔끔하게 공부 실력과 모고 실력이 온전히 같지는 않습니다.

4월 더프도 보셨고, 6평이 그리 멀지는 않았으니 한 번 작성해보겠습니다.

우선 전제를 하나 깔고, 그 후에 모의고사 운영법을 다루겠습니다.

저도 현역 시절 고질적인 점수 부진에 빠졌었습니다. 

모고 성적이 너무너무너무 안 나왔었거든요...

재수 때 바로 두 달만에 해결했었는데 그 방법은 앞에서 말했다시피 준킬러 대비입니다.

저는 주로 하프 모고를 이용했습니다. 어떻게든 27문제를 50분 안에 끝내는 것을 목표로 했고,

킬러 문제는 한 문제당 러프하게 10분 잡아서 80분 안에 모의고사 1회를 끝내는 것을 목표로 삼았습니다.

이런 목표를 세웠을 당시, 100분 기준 제 모고 점수는 주로 88, 92였습니다.

단순히 100분 100점이 아니라 80분 100점을 목표로 공부한 것이죠.

이건 비단 2등급 학생이 만점으로 도약하는 것뿐만 아니라 

낮은 등급에서 윗 등급으로 가려는 학생들 모두에게 해당될 수 있는 말입니다.

내가 단순히 4등급에서 3등급으로 올릴 것이다라는 기준은 너무나도 추상적입니다. 

우리가 목표로 삼아야 할 것은 단순합니다. 

"난 00~00번 문제들을 몇 분 안에 풀어서 맞춰낼 것이다."

이걸 목표로 삼으시면 됩니다. 

빠르게 풀려면 누차 말했듯이 어떻게 해야 한다고요? 회로 개설.

충분히 이런 과정을 통해 회로가 확보되었다는 가정 하에 모의고사 운영법을 살피겠습니다. 

모의고사 운영.

우리는 시험 100분에 30문제를 풀어야 합니다. 

하지만 실전에서는 변수가 상당히 많습니다. 

OMR 마킹부터 갑자기 쉬운 문제가 막히는 상황까지...

그렇기에 시간 분배를 러프하게 여유를 두고 잡아주어야 하는 것이죠.

제 기준 그 어떤 상황에도 불구하고 여유가 있도록 잡았던 시간 기준이 80분이었습니다. 

평소 80분 안에 내가 다 풀면 수능에서 그 어떤 일이 일어나도 다 맞출 수 있겠다 생각했던 것이죠. 

이 80분은 사실 단순히 50+30이 아니었습니다. 

첫 쪽 최대 1분

5번~10번 최대 9분

11번~14번 최대 10분

등등 

구간별로 타이트한 시간 제한을 걸어놨었습니다.

특정 문제에서는 빨리 풀은 덕에 시간을 벌고, 특정 문제에서는 벌어놓은 시간을 쓰고...

그걸 구간마다 정리를 해뒀기 때문에, 시험 전체가 터지는 것이 아니라,

터져봤자 그 구간이 터지는 것입니다. 

다만, 다른 구간들에서 시간을 벌면 그 터진 구간 수습이 되는 것이죠.

그래서 저는 저 타이트한 시간이 지나면 과감히 그 문제를 넘어갔습니다.

딱 최대 한 문제에 3분. 이 안에 견적이 나오면 조금 초과해도 풀어버리고,

그렇지 않고 내 펜이 멈춰있는 걸 자각하면 바로 넘겼습니다. 

어차피 여러분들이 문제 풀어낼 때 생각해보면, 아이디어를 찾아내면

실제로 답을 도출하는 계산은 그리 오래 걸리지 않습니다. 

왜냐하면 우리가 문제 푸는 데에 걸리는 시간은 다음과 같거든요.

1. 문제를 읽고 내가 사용할 회로 검색.

2. 회로 사용 ( 계산 )

주로 1번에서 막히는 게 문제지, 1번이 해결되면 2번은 금방 해결됩니다. 

그러니 1번이 우리의 시간을 단정짓는 관건인 것이죠. 

1번이 해결되지 않는다면..?

얼른 넘기고 다른 문제들에서 시간을 벌어와 여기에다가 쏟으셔야 합니다. 

그리고 저도 문제 푸는 순서를 많이 점검했었습니다. 

저는 주로 1-14 / 16-21 / 23-29 / 22 / 15 / 30 의 순서를 따랐지만,

15, 22, 30 간에는 문제를 보고 아이디어가 떠오른 순서대로 풀었던 것 같습니다.

즉, 저 세 문제를 모두 살펴보긴 한다는 것이죠. 

예전 가/나 형 시절과 달리 요새는 킬러 문제들 간의 난이도가 비슷합니다. 

그렇기에 세 문제를 모두 읽어보는 것이 중요합니다. 

더이상 30번이기에 버린다는 생각은 통하지 않습니다. 

전략을 혼자서 많이 생각해보세요.

그러라고 있는 것이 '모의'고사입니다.

저도 6,9평과 여러 사설 모고를 통해 정한 저만의 법칙이

27문제 50분, 1문제 최대 3분 투자 후 넘길지 말지 자동적으로 결정,

킬러 문제는 모두 살펴본 후 어떤 문제부터 할지 결정하기

등이 있었던 것이죠. 

결국 모든 내용이 하나의 결론으로 귀결됩니다.

생각의 회로의 정립과 빠른 사용.

그러니 자꾸 제 글이 반복될 수 밖에 없죠... 

수학 공부의 목적은 수학이 언어라는 사실을 깨달으셔야 한다는 것입니다. 

수학이 언어다...

---> 최소한 수능 수학은 언제나 약속된 플레이가 일어납니다.

여러분들이 배운 교과서 개념이 어떻게 이용될 것인지, 어디에서 이용될 것인지를 

미리 생각의 회로를 통해 정리를 해놓으세요.

그리고 많은 학생들이 힘들어 하는 파트가

준비해놓은 생각의 회로를 막상 실전에서 적용하지 못하는 것입니다.

그러라고 시중에 많은 사설 모고가 있지 않습니까.

계속 실패해보며 아 내가 왜 실전에서 안 썼지.. 왜 안 쓰는거야 도대체..

등의 생각을 하며 자책하고 조정해 나가세요.

공부도 축구처럼 이론을 배운다고 바로 안되는 것이 맞아요.

많이 써본 사람만이 실전에서, 연습 때 했던 환상적인 슛으로 골을 쟁취할 수 있습니다. 

그러니 제발 모의고사 오답을 할 때,

단순히 문제를 오답하는 것이 아니라, 여러분의 운영에 대해서 고민해보세요.

내가 어떤 문제에서 생각의 회로를 적용 못했는지.

내가 어떤 생각의 회로가 미숙한지.

어느 생각의 회로를 보완할지.

그런 공부 점검을 해주시기 바랍니다. 

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오랜만에 수학 관련 글로 여러분을 뵙네요.

수학 공부가 어찌보면 제일 단순합니다.

기출에서 찾은 생각의 회로를 계속 써보며 갈고 닦으세요.

그게 싫으면 압도적인 실력으로, 시험지를 볼 때마다 생각의 회로를 만들어내는 괴물같은 피지컬을 지니시던가요..

저도 후자는 자신이 없어요.

그러나 전자만큼은 누구보다 자신있습니다.

그 어떤 기출도 제일 쉽게 풀 수 있다는 자부심이 있도록 공부했어요 전.

그렇게요. 그렇게요..

공부할 때 단순히 문제만 풀지 마세요..

반드시 지독하게 연구를 해서 그 문제에서 얻을 수 있는 모든 것을 얻어가 주세요...!

수학 질문 이 글에 댓글로 달아주시면 답해드리겠습니다..

쪽지가 포화상태네요...

https://orbi.kr/00055993466 _ UR독존 칼럼집 with 칼럼에 대한 요약.

https://atom.ac/books/9686 _ UR독존 첫 책 _ 삼극사기 ( 삼각함수 도형의 극한 사기적으로 풀기 )