[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법
게시글 주소: https://orbi.kr/0004324086
개념을
통해 무엇을 배워야 할까?
안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다.
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.
'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.
그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’
1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)
가령,
등차수열
{an}의
일반항이
an=a1+(n-1)d
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.
등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.
물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,
3, 5, 7, 9, 11, …
과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면
3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…
과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
∴ a100= 3+2·99
2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.
이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.
그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..
2011학년도
수능 (오답률
50%)
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점]
Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)
n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면
1, 3, 5, 7
인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?
그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉,
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3
이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)
공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)
이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.
∴ f(m)=2m-3
따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102
문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다.
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.
이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다!
~ 읽어주셔서 감사합니다 ~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
개때잡 듣는중인데 그다음강의 뭐 듣는게 좋을지 아님 자습처럼 기출 풀지 모르겠네요...
-
배고파아아
-
안 살거라고 생각하고 상담이나 견적같은게 불친절할까요
-
129 0
1주일 뒤 나는 국어 확정 5등급 실력과 영어 6이상을 받을거야 할 수 있다.
-
작년에는 착실히하게 매일매일 1년동안 해서 뭔가를 유기하고 싶다는 생각은 안...
-
D-129, 서울대 수학교육과, 입시의 모든 것, 김지석 0
습~하 다 장마 속 잘지내고 있냥? 안이 나는 죽을 것 같아 어항속에 사는 고양이가...
-
내가 뭘하고 뭘 배우고있는건지 모르겠음요 어따 써먹을지도 모르겠고 이명학 들어보고싶다
-
이명학 알고리즘 맨 마지막에 알려주는 문항별 정리본 보내주거나 알려주실분 있으신가용..
-
고민중
-
너무 전형적인 문제를 내면 딱히 얻어갈만한 요소가 없을 거 같아서 일부 지엽적인...
-
이맛에 수능 공부하지 딱대
-
이런 것도 모르고 의대갈 수 있었다니 15수학은 전설이 맞다...
-
친구 사귀고 싶은데 13
어떻게 하는지 모르겠어요
-
생명 지구 수능 준비 어떻게 해야할까요? 일단 내신으로는 둘 다 1등급 따긴 했는데...
-
현 고졸 쌩재수 신검 3급인데 걍 가만히 잇으면 운 좋게 걸리는건가요? 신청같은 거 아예 없음?
-
ㄹㅇ 대략 걍 궁금해서요 화미물지 95 92 2 47 47 업 다운만이라도 부탁드려용
-
ㅈㄱㄴ
-
힘과 가속도의 법칙 단원에서 도르레 문제 중에 속력을 이용하는 문제들을 보면서 벽을...
-
공통 1개 기하 3개 틀렸는데 29번은 그냥 조건해석도 못했고 28번,30번은 시간 때려박고 못풂
-
무섭다 인간사회
-
반수 1
반수 지금 시작해도 되나..? 일반고 1.3수시반수 생각중이고 작년에...
-
붙은 사람 있음? 추합이든 최초합이든 공부 얼마나 하고 붙었어?
-
수완은 진짜로 좀 아님 ㅇㅇ.
-
수능특강에대한소신발언 14
표지귀여움
-
ㅇㅇ. 쓸데없이 문제가 많더라. 예전기출도 많고.
-
독서는 저랑 너무 잘맞는것 같은데 문학은 강민철쌤 덕을 많이 봤었는데 김동욱쌤은...
-
라이브반 결제했는데 리밋 뭐시기랑 파이널 위클리콤, 박종민 모의고사도 결제하라고...
-
1. 표본 다름 2. 시험 범위부터가 다름 3. 현장감 다름 저도 6평 때는 서울대...
-
발목도삐고진흙투성이댓어.. 행복이주글게.,,
-
내가 똑같은 행동 하면 옘병꼴값 떤다고 욕하는데 쟤네는 저짓하면 관심도 받고 잘하면 돈도 벎;
-
지1 은하 질문 7
ㄷ에서 나와 같은 은하가 정상나선은하라고 해석하고 나선은하 중에서는 막대나선보다...
-
[속보] 경찰, '채상병 순직 사건' 임성근 전 사단장에 "혐의없다" 1
임성근 전 해병대 1사단장이 지난달 21일 오전 국회 법제사법위원회에서 열린 '순직...
-
연대 인문논술 독학할만한가요? 메가 인강보고 기출 푸는 걸로 안될까요? 이과...
-
토익 예제 문제 좀 풀고 봐서 845점 인데 다시 시험봐서 900점 넘기 쉬울까요?...
-
의료인들이나 환자들이 카드 찍어야 열리게 하면 안되나 입원할때마다 드는 생각인데...
-
오늘은 특별히 0
어브노멀리티 댄싱걸을 들으며 화학을
-
7모 언제인가요 6
문제지 pdf 나오는 때를 알고 싶어요!
-
놀고 싶지만 0
수능 끝나면 젤다 500시간 태울 예정
-
지수 질문 2
방정식이나 항등식에서 양변에 같은 지수를 곱하거나 나눠어도 값이 같은게 맡나요?
-
[속보] 정부, 전공의 복귀여부 없이 모든 행정처분 중단 1
정부가 복귀 여부와 상관없이 모든 전공의들에 대한 행정처분을 중단하고, 복귀한...
-
오늘 해야할 분량 하려면 늦게 자야 겠네 힝..
-
4뜨고 충격받아서 영어공부가 더는 하기 싫어졌네요 그래서 지금 영어는 손 놓고...
-
2는 과할거 같고 특특 끝내고 파이널 느낌으로 0 1중에 하나만 골라서 풀 생각인데 후기점...
-
오승환 은퇴 어케 생각함
-
과외생 중에 국어 70점대 투투러가 국수탐 백분위 99점대 극후반 떴거든요...
-
대단한데………?
-
커피를 먹자니 써서 맛없고 에너지 음료를 먹자니 톡톡 튀어서 혓바닥이 아프다 핫식스...
-
반수마렵노 1
현실에는 엄친딸 공주님들 많은데 에타만 들어가면 왜 이런 애들 천지냐
잘 읽었습니다 유용하네요
이좋은글에 왜 댓글이없죠?ㅠㅠ 감사합니다 잘읽었어요!ㅎㅎ
그래도 알아보시는 분들이 있어서 다행입니다ㅎ
ㅠㅠ앞으로도 학습관련 게시물 많이 올려주세요~~꼭꼭 챙겨볼게요!ㅎㅎ
스크랩 ~~~~~
출처만 정확히 ~
굿굿굿굿굿!
이런 게시글의 논지를 담고있는 책 추천 좀 해주세요..
오르비 북스(Books)에 있습니다.
좋은글 잘 읽었습니다!!!
정말정말 좋은글입니다.
수능수학은 이 글안에 해법이 다 있다고 해도 될듯하네요