[박재우T] 안녕하세요
게시글 주소: https://orbi.kr/00040201877
안녕하세요. 박재우T 입니다.
라스합시다 ^^
오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.
요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?
물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만
과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.
공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를
다시 한번 소개하고자 합니다.
아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ?
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.
기억나시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
흠뇨이 1
-
모고 풀면 항상 문학은 기초가 부족해서 (필수어휘 잘 모름,해석 느림••• )...
-
학점망해가는거 같아서 그냥 깔끔하게 버리고 수능공부 해가지고 깔끔하게 내년에 서울대...
-
재밌는 조건 많음
-
혹시 덮날임? 1
새르비 죽었노
-
응용학부는 1
뭐 배움? 수학과 응용수학과 화학과 응용화학과 물리학과 응용물리학과 뭔 차이임?
-
ㅈㄱㄴ
-
OZ베이직모고 Lv2. 1회 13/15문제 역시 첫트만에 다 맞는 기적은 제...
-
전공 하나 남음 0
나머지 다 정리 끝남 근데 남은 하나가 C++임 자살 마려움
-
D-8...ㅇㅈ 0
ㅠㅠ
-
애니보고싶다 5
그치만 공부 계속 해야겟죠... 응..
-
잘자요 9
-
체육선생님인가요
-
3모 3 극초반 0
선택 기하 6,14,15,21,22,28,29,30 틀인데 (기하 27에서 문자...
-
이해원 수1을 풀다 이해원 수2를 풀다 트러스 미적을 풀다 시대기출 미적을 풀다
-
전공 ㅈ도 쓸모 없음 깃허브 open ai로 남들이 만들어놓은 key , code...
-
1~7편까지 쭉 달림뇨 자고일어나서 1기 끝내야겠다
-
아오졸려 0
하루에 전공시험 3개 볼 위험에 처햇음;
-
공동교육과정에 대해 자세하게 설명해주실 분 계신가요? 3
내신을 화생지했는데, 제가 공대가 너무 가고 싶어서 생기부 과세특 다 공학으로...
-
리뷰 더 쓰려면 한나절 쓸 수 있음 당연히 시장 파이 따라가는 것은 맞겠으나 문제는...
-
짤녀같은 미소녀로 태어나는게 평생소원읾…
-
혼자 독학 할 수있는 화학의 한완수 같은 책은 뭔가요??
-
아 거짓말하지마 4
어떻게 내일모레가 시험이야ㅋㅋ
-
캠스터디나 온라인 연락 말고 만나서 같이 공부하다가 내가 쳐자면 뚝배기 쪼개줄 수능 공부하는 친구
-
bxtre.kr/
-
24수능 이상치 결측치 분석해보고 눈물 흘릴 뻔 함
-
레전드 집단인지를 알면 됨 사교육 스킬 싹 배제하고도 잊논 할매턴 용자례 한비자...
-
중간고사가 거짓이라 해줘
-
난 개인적으로 24수능보다 25수능 수학이 더 어려웠다고 그당시엔 생각함뇨 ㅋㅋㅋㅋ...
-
진짜
-
시간이 얼마 없긴 하구나 아쉬운대로 화1을 그대ㄹ......
-
어캄? 내일 가서 치울수있나
-
그럼 거의 모든게 해결됨 진짜
-
세상이 거꾸로 돌아간다
-
요즘 롤은 정글 연습라느라 싱싱미역인데
-
키메라 연성하는게 어릴 때부터 꿈이었음
-
그럼 모든 문제 해결임
-
내가 게으른 것도, 인간관계 파탄난 것도, 내성적인 것도, 멍청한 것도 모두모두...
-
지방 치 교과 써볼만 할듯
-
재탕맞습니다
-
다음주 시험인데 0
이번주 금요일 콘서트 보러간다. ㅋㅋㅋㅋ rokudenashi daiski
-
아는 의대생이 4
삼수부터는 주변 동기들 중에서도 희귀한 편이라네 에휴.. ㅠㅠ
-
공부 해야겠죠?ㅎ
-
올오카 드랍 1
올오카 반 정도 들었는데 제가 강의 듣기에만 급급한 것 같아서요 인강이랑 잘 맞는...
-
아기는 공부 중 9
동기들이랑 다음주 토익 같이 접수하고 옴 술값내기 하기로 했음 우리 말고 다른...
-
옯만추 함부로 하지마셈 13
햇다가 성별 바뀜
-
확통을 이제서야 시작하는 노베인데 일단은 현우진 시발점,김성은 무불개 중에서...
-
수능이 선녀임 ㄹㅇ
이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!