[박재우T] 안녕하세요

Question

안녕하세요. 박재우T 입니다.

라스합시다 ^^

오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.

요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?

물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만

과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.

공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를

다시 한번 소개하고자 합니다.

아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.

수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는

습관이 매우 중요합니다.

대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.

아닌가요 ?

그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?

특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?

수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.

이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.

비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게

좋은 방법이라고 생각합니다.

먼저 원리하나 소개할께요.

* Cavalieri의 원리 *

같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.

이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.

각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면

모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?

당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.

이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.

먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요

반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서

위 아래 두 개의 대칭 원뿔을

뺀 도형 두 개를 생각해볼께요

그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.

여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.

같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로

두 입체의 부피는 같습니다.

오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로

그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.

모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.

이해가 좀 되셨는 지요.

그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라

평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.

단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.

물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.

암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.

물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.

미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요

오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서

아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.

이해 되셨나요 ?

왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서

동일한 단면적을 갖습니다.

피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서

직선이 되는 것은 아실겁니다.

그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면

이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.

도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는

것이 강점입니다.

예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.

기억나시나요 ?

어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^

열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.

재밌는인생 · Accepted Answer

이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!

[박재우T] 안녕하세요

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