미분가능성과 미분계수?

Question

f(x)=2x+x2sin(1/x) (x≠0)        0                   (x=0)일 때, f'(0)을 구하는 문제입니다.f(x)를 미분하여 lim   f'(x)를 구하려고 하면 값이 존재하지 않습니다.                     x->0미분계수의 정의에 의하여 f'(0)를 구하면 좌우극한값이 모두 존재합니다.일반적으로 구간 나눠진 함수에서 구간 나눠진 그 지점에서의 미분계수를 구할 때,함수를 각각 미분하여 좌미분계수와 우미분계수를 구한다음 같을 때 그 값이 미분계수라고 풀었었는데,이 문제는 왜 그게 안 되는건지.. 그 값이 없으면 그 지점에서 미분이 불가능하다고 받아들여야 하는지..근데 미분계수의 정의에 따라 왜 값이 나오게되는지.. 미분계수가 있다는 건 미분이 가능하다는 이야기니까x≠0이 아닐 떄의 f'(x)에다가 x->0으로 보내는 값(좌우극한 모두)이 곧 미분계수가 아닌가요?제가 푼 방법대로 하려면 어떤 전제가 필요한건지 개념이 흔들립니다.f'(0)이 존재한다고 해서 y=f'(x)가 x=0에서 연속이라고 할 수 없는 반례로 나온 문제인데이런 문제가 성립할 수 있는건가요?도함수와 미분가능성, 미분계수와 좌우미분계수에 대한 개념들과 제 질문에 답변 부탁드립니다. 감사합니다.

아기나라 · Accepted Answer

추가로 f(x)와 f'(x)의 그래프 개형에 대해서도 알고 싶습니다.

Joon Hyuk · Answer

간단히 말하면 f(x)가 0인 구간과 0이 아닌구간으로 나뉘었죠?? 왜 나눴을까요?? 원함수만으로는 f(0)을 정의할수없기 때문이에요....x->0일때 limf(x)랑 f(0)은 완전히 다르거든요

그리고 원함수를 미분한 도함수도 x값이 0인구간과 0이아닌구간으로 당연히 나눠야겠죠?? 근데 그 미분한 도함수만을 가지고 f'(0)를 정의할수있나요?? 아마 실제로 미분하셔도 cos(1/x)가 남아서 계속 진동할걸요ㅋㅋㅋ그래서 미분계수의 정의로 풀어야해요ㅋㅋㅋㅋ그리고 여기서 중요한게 님도 본문에 적으셨지만 이게 미분가능한 원함수의 도함수가반드시 연속은 아니라는 사례에요

코난샘 · Answer

미분가능 불가능은 미분계수의 정의로 판단해야 합니다.
곱의 미분법을 써서 거기에다 lim 붙이면 안됨.
왜냐하면 y=x^2sin(1/x) 처럼 x=o에서 연속이며 미분가능하나, 도함수f'(x)가 x=o에서 불연속인 특이함수가 있기 때문입니다.
단, y=xsin(1/x)는 x=0에서 연속이고, 미분불가능!

이러한 함수는 매년 EBS에 나왔으며, 교육청, 사관학교에 출제된 적이 있으면 2013학년도 한양대 모의논술에도 출제가 되었답니다.
제 킬러문항 집중탐구 강좌 수2에서 다룹니다.

미분가능성과 미분계수?

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