지수로그함수 관련 질문입니다.
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y=a^x 그래프와 y=loga(x) 그래프는 역함수 관계이므로, y=x에 대하여 대칭으로 알고 있습니다.
이 때 지수함수와 로그함수가 한 점에서 만나게 되는 a의 값은 얼마인가요?
다시 말해, a가 얼마가 되어야 y=x에서 두 함수가 접하게 되는지 알고 싶습니다.
유도 과정까지 설명부탁드립니다.
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아참,a가 1보다 큰 경우에 대해서 생각하고 있습니다.
a=e^(1/e)일 때고요, 미분을 이용하여 y=x그래프와 한 점에서 접할 때 함수값과 미분값이 같음을 이용하면 풀 수 있어요.
자세히 유도과정을 설명드리자면, f(x)=a^x와 y=x그래프가 한 점에서 접한다면 그게 바로 f(x)=a^x와 g(x)=loga x그래프가 접하는 것이죠? 따라서 y=a^x와 y=x가 만나는 한 점을 (b,b)라고 해 봅시다. 그럼 여기서 a^b=b라는 식이 나오고, (b,b)에서 f(x)의 기울기가 1일 때 접하므로 f '(b)=1 즉, a^b x ln a =1이라는 식이 나오죠. 첫째 식에서 양변에 1/b제곱을 하면 (b>0) a=b^(1/b이고, 이를 두 번째 식에 대입해서 계산하면 b=e가 나옵니다. 따라서 a=e^(1/e)입니다.
양변을 1/b제곱한다는 걸 놓쳤었군요. 그런데 e^(1/e)는 대략 어느정도의 값을 가지나요? 이걸 계산하는 방법을 알려주시면 감사하겠습니다.
그 값은..무리수이니 당연히 계산기로 구하는 수밖에 없는데요 계산해보니 약 1.444667861이 나오네요
그럼 a가 1.444667861보다 작은 값을 가지면 그의 역함수와 두 점에서 만난다고 얘기할 수 있겠네요? 설명 감사드립니다. 꾸벅
그렇습니다. 1e^(1/e)일 때는 만나지 않죠.