연치 4:00~6:00

1번

한 주사위를 세 번 굴려 나온 수를 각각 a,b,c라 하자. 이차방정식 x^2+ax+y^2+by+6=0이 원을 나타낼 때 직선 x+2y+c=0이 그 원의 넓이를 이등분할 확률을 구하시오.

2번
방정식 x1+x2+x3=5의 양의 정수해를 나열한 것을 <표 1>이라 하자. 이때 2가 나오는 횟수는 6이었다. 같은 방식으로 x1+...+xk=n의 양의 정수해를 나열한 것을 <표 2>라 하자. 이때 정수 r이 나오는 횟수 n,k,r로 표현하시오. 단, k는 2부터 n까지의 정수이며, r은 1부터 n-k+1까지의 정수이다.

표1

x1 x2 x3

3 1 1

1 3 1

1 1 3

2 2 1

1 2 2

2 1 2

표2

x1 x2 x3 ... xk

(이하 빈칸)

3번

제시문
{어떤 삼각형 ABC에 대하여 네 점 P, Q, R, S를 모두 삼각형 ABC의 변 위에 있는 점이며, 사각형 PQRS가 직사각형이 되도록 선택한다.}
3-1)
사각형 PQRS의 넓이가 최대일때 삼각형 ABC와 사각형 PQRS의 넓이의 차가 43이다. 이때 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.
3-2) (가),(나) 조건을 고려하여 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.
(가)사각형 P'Q'R'S'는 네 점이 삼각형 ABC 또는 사각형 PQRS의 변 위에 있고 직사각형이다.
(나)사각형 PQRS와 사각형 P'Q'R'S'의 넓이의 합이 최대일때, 삼각형 ABC의 넓이와 두 사각형의 넓이의 합의 차는 47이다.

4번

제시문
{x=-1/3, y=1/5, y=4/3, x+y=2에 의해 결정되는 사각형을 D라 하자. 자연수 n에 대해, 네 변이 좌표축과 평행하고 한 변의 길이가 1/(2^n)이며, 네 점의 좌표에 (2^n)을 곱한 값이 모두 정수가 되는 정사각형의 집합을 Sn이라 하자.}
4-1) Sn의 원소중 D에 포함되는 것의 개수를 f(n)이라 할 때 수열 {an}의 일반항 an=αn+lnf(n)이고 lim(n->inf)an 이 수렴할 때 α의 값과, lim(n->inf)an의 값을 구하시오.
2) Sn의 원소중 D와 두 점 이상이 닿는 것의 개수를 g(n)이라 할 때 수열 {bn}의 일반항 bn=βn+lng(n)이고 lim(n->inf)bn이 수렴할 때 β의 값과 lim(n->inf)bn의 값을 구하시오.