주예지T) 오늘도 한 계단, 미분가능성

9월 평가원 대비 모의고사 무료 배포와 이에 대한 이벤트를 진행 중에 있습니다. (하이퍼링크 클릭!)
가형 20번(나형 21번) 문항은 반드시 한 번쯤 풀고 넘어가길 바랍니다.

-------------------------------------------------------------------------

저번에는 ‘성적 상승은 미분가능하지 않다’는 내용으로 찾아왔었는데, 그 김에 진짜 미분가능성에 대한 이야기를 하려고 합니다. 가형, 나형을 가리지 않고 출제되는 주제인 만큼 수학II 문항으로 내용을 풀어나갈 것이지만 모든 수험생이 볼 수 있도록 작성하였습니다.

먼저 문항부터 보시죠!!

문항을 풀어봤을 거라 믿고, 미분가능성에 대해 짧막하게 이야기를 나눠보죠. 먼저 저희가 문제를 풀면서 가장 많이 사용하는 개념(정리)은 다음과 같습니다.

[Debut 수학II S#3 미분가능성과 연속성]

이때, 두 함수 g(x), h(x)가 미분가능한 함수이어야 한다는 것을 잊지 말아야 합니다.

참고로 g’(a)=h’(a)를 도함수가 연속이어서 성립한다고 받아들이는 분도 있는 것으로 아는데 두 함수 g(x), h(x)가 미분가능하다는 조건으로는 두 도함수 g’(x), h’(x)의 연속성을 보장할 수 없기 때문에 항상 옳지는 않습니다. 

다만, 함수가 명확하게 주어지고, 다항함수와 같이 도함수가 연속함수라는 게 뻔히 보인다면 평균값 정리에 의해 성립하는 명제이므로 사용해도 무방합니다. (뻔히 보이지 않으면 안 쓰는 게 바람직하겠죠?)

복잡한 얘기는 뒤로하고, 미분가능성을 대하는 마인드셋을 갖추기 위해 위의 개념을 간단하게 한쪽만 증명해볼게요!!

이 증명이 미분가능성을 이해하는 첫걸음입니다. 왜 첫걸음인지는 뒤에서 말씀드리겠습니다.

이제 다음 스텝은 두 함수 g(x), h(x)가 미분가능하지 않은 순간이 있으면 어떻게 할 것인가를 생각하는 것입니다. 이 점에서 수학은 심플한 답을 제시합니다. 정리를 활용할 수 없다면 정의로 돌아가라고 말이죠. 

다시 증명으로 돌아가면 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다.

지금까지 글을 주의깊게 읽었다면 이미 알아차렸겠지만, 증명이 중요한 이유를 말씀드리자면 문제를 풀어나가는 과정 그 자체이기 때문입니다. 

여기서 여러분이 알아두어야 할 게 있습니다. 정리를 활용할 때는 도함수에 값을 대입하여 미분계수를 구하지만, 정의를 활용할 때는 극한을 계산해야 합니다.

뭔가 갑자기 미개해지는 기분이 들 수 있는데, 정의를 활용하기로 마음먹으면 미분가능성 문제가 아니라 함수의 극한 문제가 되는 것입니다.

여러분(특히 이과 수험생)이 어려운 미분가능성 문제를 만난다면 정의를 활용하여 극한을 계산할 수 있는지를 물어보는 문제일 가능성이 높습니다. 올해 6평 가형 30번이 그랬듯 말이죠. 

지금까지 학습한 내용을 바탕으로한 [ Performance 수학II 65번 ]에 대한 해설을 첨부하였습니다. 문제를 푸는 과정이 증명 과정과 거의 유사하다는 것을 직접 확인해보기를 바랍니다.