Free group, Free product, Free abelian group

다른 글들과는 다르게 이건 거의 3일이 넘게 쓰면서 3번정도 수정을 했던것 같다. 그 이유는 일단 free group의 존재는 원래 munkres에서 나오기 때문에 이미 관련된 정의나 용어, 정리등을 알고는 있었다. 근데 아무래도 대수니까 munkres에서 나온 내용들을 모두 포함하는 그런 대수책이 당연히 있을거라고 생각해서, 여러 대수책들과 구글에서 free group등에 관련되서 누가 정리해놓은것을 찾아봤었다. 그리고 처음에는 대수책처럼 글을 쓰다보니, munkres에서 나오는 내용을 다 포함하기가 너무 어려워서 결국에는 munkres를 기본으로 두고 쓰는걸로 했다. 다음에 나오는 것들의 대부분은 문크레스에서 나오는 것들이고 정리도 몇몇개 일반화 시킨것 빼고는 거의 그대로 써놨다. free product/group/abelian group 관련된 자료를 찾아보니 문크레스만큼 잘 써놓은 책이 없더라.

이번에는 Free group에 대해서 아라보자. 강의 계획서 보니까 학부대수시간에 안배우는거같은데 대수위상에 거의 기본으로 알고있어야 하는 대수지식중 하나로 당장 torus의 fundamental group만 해도 Z+Z로 free abelian group이다. 또한 Van Kampen's theorem도 free group으로 서술되어 있기때문에 무조건 알아야 한다.

아 참고로 바나흐 타르스키 역설 (하나의 구를 유한한 조각으로 잘라 약간 돌려서 끼워맞추면 두개의 구로 만든다는 역설. 선택공리를 받아들이느냐 마느냐에 영향을 끼치도 한 역설이다.)에서도 등장하는 개념이다. 누가 네이버 블로그에 증명을 써놨던걸로 기억한다. 증멍자체는 별로 안어렵다. 나중에 기회가되면 따로쓰겠다.

Group generated by set

이 부분은 선수지식 파트로 group theory에서 나왔던 정의를 상기 & 확장하는 부분이다.

Def. A group G is generated by some subset S of G if any element of G can be written as a finite group operation of elements of S and inverse element of S and it's denoted by <S> i.e.

여기서 주목할 점은, <S>는 여전히 G의 subgroup으로써 group operation들이 계속 적용되고 있다는 것과 각 element g의 표현이 unique하다고 가정하고 있지 않다.

이 개념을 우리는 다음과 같이 확장시킬 수 있다.

위의 정의에서 만약 어떤 set X가 있어서 X와 S가 bijective하다면, 우리가 그 bijection을 f라고 하면 위의 <S>의 정의는 X의 원소와 f로 서술 될 수 있다. 다시말해서 어떤 injective map i:X->G가 있어서 i(X)=S 즉, <i(X)>=G가 되는 것으로 확장할 수 있다.

한가지 더, 만약 G가 group이고 G_a들이 G의 subgroup들이고, G가 G_a의 원소들의 유한한 곱으로 표현이 된다면, G는 G_a에 의해 generated된다고 한다.

Free product

Free product는 기본적으로 direct product처럼 group간의 operation으로 새로운 group을 만드는 것으로 비공식적이지만 직관적으로 말해보자면 group generated by groups 이라고 볼 수도 있다.

일반적인 대수책에서 정의하듯 free product를 정의하자면, 일단 {G_a}를 familty of groups 이라고 하고 각각이 모두 disjoint하다고 가정한다. 따라서 G_a와 G_b의 두 원소사이에는 아무 operation이 없다.

이제 Free product를 정의하기 위한 용어 및 정의 몇개를 소개하자면

1. Word

word란 기본적으로 finite sequence of g_i's where each g_i is an element of some group G_i in {G_a}. 따라서 word라고 하면 (g_1,...,g_n) 이런 형식을 띄고 아니면 그냥 g_1...g_n으로 붙여 쓰기도 한다.

2. Reduction

이제 저렇게 구성된 word들을 갖고 길이를 좀 줄이는 작업을 할 것이다. 일단 g_i중 identity가 있으면 sequence에서 뺀다. 그리고 만약 어떤 i에 대해서 g_i와 g_{i+1}이 같은 group에 들어있다면 둘은 그 group의 원소인 g_ig_{i+1}로 고쳐서 쓴다. 즉, 연속된 non identity element가 같은 group의 원소면 그 둘은 group operation을 해서 결과적으로는 모든 i에 대해서 g_i와 g_{i+1}들이 서로 다른 group에 들어있는 상태로 만든다. 이러한 상태를 reduced word라고 한다.

3. operation between reduced words

이건 reduced word들 사이의 operation을 주는 것인데, 두개의 reduced word (g_1,...,g_n), (h_1,...,h_m)이 있다면, (g_1,...,g_n)(h_1,...,h_m)=(g_1,...,g_n,h_1,...,h_m)을 먼저하고 이것의 reduced form을 만들어 주는것이다.

이제 Free product를 정의한다.

Def. Free product of {G_a} is a collection of reduced words of {G_a} with operation we defined above. We denote it as \Pi^* {G_a} and say 'free product of the groups G_a'

실제로 이게 group structure를 주는지는 확인해봐야 하지만 그건 혼자 해보는걸로..

위에서 group generated by set에서 봤듯 여기서도 좀더 개념을 확장할 것이다.

Def. Let {G_a} be the family of groups. Suppose G is a group and i_a:G_a->G be a monomorphism. If G is a free product of i_a(G_a) then we say G is a free product of G_a.

정의는 일부러 똑같이 썼다. 따라서 어떤 group G가 free product of G_a라고 하면 monomorphism i_a가 있어서 i_a(G_a)의 free product라고 생각하면 된다. 처음의 정의는 i_a가 inclusion homomorphism일때로 보면 될거다.

monomorphism인 이유는 i_a(G_a)는 기본적으로 group이어야 하기 때문이다.

일단 이 free product의 universal property를 보자.

Thm. If G is a free product of G_a with monomorphisms i_a. Then G satisfies the following universal property: For any given group H and a group homomorphism h_a: G_a->H, there is a unique homomorphism h: G->H that the following diagram commutes:

Sketch proof. Let (i_1(g_1),...,i_n(g_n)) be an element of the free product. Define h((i_1(g_1),...,i_n(g_n)))=h_1(g_1)...h_n(g_n) and h(1)=1. Since the each of the reduced word are unique, the map is well-defined. To show the map is homomorphism, first observe that for given 'word', reduction operation doesn't change the value of h_1(g_1)...h_m(g_m) if (g_1,...,g_m) is a 'word'. So one can check that this map is in fact a homomorphism.

이제 free product는 결과적으로는 {G_a} 하나에 depend된다는 uniqueness theorem을 본다.

Thm. Let {G_a} be a family of groups. Suppose G and G' are free product of i_a(G_a) and j_a(G_a) where i_a and j_a are monomorphisms for each a (or more generally but turn out to be equivalently, suppose G and G' are groups generated by i_a(G_a), j_a(G_a) and G and G' have the above universal property). Then there is a unique isomorphism i:G->G' such that the following diagram commutes:

Proof.

이제 Free product를 characterize할 수가 있는데, 다시말해서

Thm. Let {G_a} be a family of groups. Let G be a group and i_a: G_a->G be a family of monomorphisms. If the universal property holds then G is a free product of the groups i_a(G_a).

사실 이 정리는 좀더 일반적으로 i_a가 그냥 homomorphism이면 universal property가 i_a가 monomorphism인걸 함의하는데 이 부분은 사실 자명하니까 그냥 가정에 썼다.

Proof. Let G' be a free product of G_a with inclusion map j_a. Then G and G' both have universal property. Hence, by the uniqueness theorem above, there is an isomorphism φ: G->G' such that φi_a=j_a. Then as φ is an isomorphism, G is a free product of i_a(G_a).

Characterization을 다시 한번에 모아서 써보자면,

Thm. Let {G_a} be a family of groups. Let G be a group with monomorphisms i_a:G_a->G for each a. Then G is a free product of {G_a} if and only if G satisfies the universal property.

Free product의 성질을 몇가지 더 서술해보겠다. 뒤에 나올 direct sum의 성질과 매우 유사하다.

당연하게도, Free group의 곱하는 순서는 바뀌어도 상관없다.

Free group

원래 이런글은 free group의 정의를 먼저 쓰고 시작하는데(처음에 실제로 내가 그러기도 했고), 가장 general한 경우인 free product를 정의하고 free group을 정의하는 것이 좀더 편하고 잘 와닿는다는걸 알게 됐다.

위에서 Free product를 G_a로 정의를 했는데 우리가 G_a를 임의의 group이라고 했다. Free group은 이러한 G_a에 제약을 건 group인데, 어떤 제약이냐면 G_a가 모두 infinite cyclic group인 경우이다. 다시말해 G_a들이 모두 Z와 isomorphic한 경우를 말한다.

Def. Let {G_a} be a family of infinite cyclic groups. Then a group G which is the free product of G_a is called a free group. If g_a is a generator of G_a for each a, then we say the set {g_a} is a generator and also call G is a free group on {g_a}.

다른 유명한 대수책들에 비해 정의가 참 간단하고 쉽지 않은가?

이제 위에서 free product에서 나온 결과를 그대로 또 쓸수가 있는데, 일단 universal property다.

Thm. Let {G_a} be a family of infinite cyclic groups. Let G be a group with monomorphisms i_a:G_a->G for each a. Then G is a free group of {g_a} where g_a is a generator of G_a if and only if G satisfies the universal property.

이걸 다르게 표현해보자면

Thm. Let G be a group and X be a set with an injective map i: X->G. Then G is a free group of i(X) if and only if G satisfies the following universal property: Let H be a group and take any injection j: X->H. Then there is a unique homomorphism h: G->H that the diagram commutes.

Uniqueness theorem도 똑같이 표현이 가능하다.

Thm Let X be a set. If G and G' are free groups with injective map i: X->G and j: X->G'. Then there is a unique isomorphism φ between G and G' that the following diagram commutes.

만약 위의 H가 X에 의해 generated된다고 생각해보면 universal property에 의해서 h: G->H인 homomorphism이 존재하게 된다. 따라서 H는 G의 quotient로 표현이 가능하다.

Thm. Any group generated by X is a quotient of free group on X.

이런 의미로 Free group이 group generated by a set에서 가장 일반적인 group이라고 볼 수 있다.

참고로 위에서 h의 kernel이 우리가 흔히 말하는 relation이라고 하는 것이다. Dihedral group의 representation을 생각해보면 쉽게 알 수 있다.

Direct sum

Free group을 정의하기 위해 free product를 먼저 고려했듯, Free abelian group을 정의하기 위해서는 먼저 direct sum이 뭔지 생각해봐야한다.

원래는 Free product에서 했듯, direct sum 도 construction을 해야하는데, 이미 group theory에서 construction을 했기때문에 굳이 여기서 또하진 않고, 그냥 정의만 써놓는다.

Def. Let {G_a} be a family of abelian groups. Suppose G is abelian group and i_a:G_a->G be a monomorphism for each a such that G is a direct sum of i_a(G_a) i.e i_a(G_a)'s generate G and the __EXPRESSION__ is unique. Then we say G is a direct sum of G_a.

그냥 generating set이랑 다른 점은 __EXPRESSION__이 unique하다는 것이다.

Direct sum 또한 universal property로 characterize 할 수 있다.

Thm. Let {G_a} be a family of abeilan groups and G be an abelian group and i_a:G_a->G is a monomorphism for each a . Then G is a direct sum of i_a(G_a) if and only if G satisfies the following universal property: Given any abelian group H and any homomorphisms h_a: G_a->G for each a, there is a unique homomorphism h: G->H such that the following diagram commutes:

Sketch proof. Let G has a universal property. Need to show the __EXPRESSION__ is unique i.e if x=\Sigma i_a(x_a) = \Sigam i_a(y_a) then i_a(x_a)=i_a(y_a) for each a. Let H=G_a and h_a be a i_a and for any other h_b be a trivial homomorphism. Then by uniqueness of h and as the diagram commutes, h(x)=i_a(x_a)=i_a(y_a).

Now suppose G is a direct sum of i_a(G_a). Then define h(x)=\Sigma h_a(x_a) where x = \Sigma i_a(x_a). Since the __EXPRESSION__ is unique, the map is well defined and also a homomorphism. Note that any homomorphism h should be the above form and this shows the uniqueness.

이제 uniqueness theorem이다.

Thm. Let {G_a} be a family of abelian groups and G and G' be abelian groups and i_a: G_a->G and j_a: G_a->G' be monomorphisms for each a. If G and G' is a direct sum of i_a(G_a) and j_a(G_a) then there is a unique isomorphism i: G->G' such that the following diagram commutes:

Proof.

Direct sum의 몇가지 성질을 더 써보겠다.

Thm. Let {A_a} and {B_a} be two collection of abelian groups such that B_a<A_a for each a. Then the following.

Proof. The first statement is clear. Left to show the next statement.

한가지 더, direct sum에서 abelian group들의 순서를 바꿔도 모두 다 isomorphic하다.

Free abelian group

이제 Free group에서도 free product중에서 restriction을 줘서 정의 했듯이 free abelian group도 restriction을 줘서 정의한다. 심지어 infinite cyclic 이라는 점에서 유사하다. 차이점이 있다면 Free group은 free product이였다면 free abelian group은 direct sum으로 정의한다.

Def. If an abelian group G is a direct sum of infinte cyclic groups G_a then we say G is a free abelian group. If g_a is a generator of G_a, then {g_a} is a said to be a basis of G.

마찬가지로, free abelian group도 universal property를 갖는다.

Thm. Let {G_a} be a family of infinite cyclic groups and g_a be a generator of G_a and G be an abelian group and i_a: G_a->G be a monomorphism for each a. Then G is a free abelian group with basis {g_a} if and only if G sasifies the universal property.

다르게 서술해보면

Thm. Let X be a set and i: X->G be an injective map where G is an abelian group. Then G is a free abelian group with basis i(X) if and only if G satisfies the following universal property: For any abelian group H and injection j: X->H, there is a unqiue homomorphism h: G->H such that the following diagram commutes:

Uniqueness theorem또한 유사하게 서술된다

Thm. Let X be a set. If G and G' are free abelian groups with two injections i: X->G and j: X->G' then there is a unique isomorphism φ: G->G' such that the following diagram commutes.

만약 위의 H가 X에 의해 generated된다고 생각해보면 universal property에 의해서 h: G->H인 homomorphism이 존재하게 된다. 따라서 H는 G의 quotient로 표현이 가능하다.

Thm. Any abelian group generated by X is a quotient of free abelian group on X.

위에서 같은 cardinality를 갖는 free abelian group은 isomorphic하다는걸 알았다. 역으로 어떤 free abelian group의 두개의 basis는 같은 cardinality를 갖는다. statement는 일반적인걸 하겠으나 증명은 finite 한 경우만 하겠다. infinte case는 쉽지않다.

Thm. Let A be an abelian group and let X and Y be two basis for A. Then there is a bijection from X to Y.

Pf. 편의상 injection은 생략하고 그냥 X, Y로 쓰겠다.

Summary.

이제 우리는 주어진 free abelian group의 basis의 cardianlity는 unique하다는걸 알아버렸다. 따라서 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다.

Def. If A is a free abelian group with basis X. The rank of A is defined to be the cardiality of X. Thus any free abelian group of rank n is isomorphic to Z^n.

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참고

위와 같이 direct sum으로 부터 특수한 경우로 정의하는 것이 내가 보기에는 가장 자연스럽다고 생각한다. 하지만 대부분의 대수책들(심지어 대학원 책에서도)은 위와 같이 정의하지 않는다. 또한 Free product로 부터 특수한 경우로 free group으로 대부분의 대수책들은 정의하지 않는다. 당장 위키피디아만 봐도 다르게 정의한것을 확인 할 수 있을것이다.

놀랍게도 저 위의 정의는 모두 '위상수학' 책인 문크레스에서 나온 정의들이다. 사실 대수학자들은 free group이랑 잘 마주치지 않는다고 한다. 그래서 대수책들에 저런식으로 안써있고 좀 간단하게 쓰거나 아니면 위의 성질들도 다 쓰지 않고 넘기는 경우가 대부분이다. 오히려 대수위상에서 많이 나오기 때문에 위상수학자들이 free group같은것을 더 많이 사용한다고 한다. 궁금한 사람들을 위해 free abelian group만 정의를 써둔다. Free group은 위키백과에 너무 쉽고 간단하게 써놨기때문에 그냥 궁금한사람들이 찾아보는 걸로 한다.

Thm. TFAE for abelian group F:

(1) F has a nonempty basis

(2) F is the direct sum of a familty of infinite cyclic subgroups

(3) F is isomorpic to a direct sum of copies of Z

(sketch proof) 

(1)=>(2): Let X be a basis of F the for each x∈X, nx=0 if and only if n=0 so that <x> is an infinite cyclic group and clearly normal as F is a cyclic group. Since F=<X>, F=<∪_{x∈X}<x>>. If z∈X, <z>∩<∪_{x∈X,x≠z}<x>>=0 if not, it contradicts the fact that X is a basis. Hence, F is a direct sum of <x>'s

(2)=>(3): clear

(3)=>(1): Suppose F is isomorphic to direct sum of copies of Z (ZZ) with index X. Let b_x be the x'th component of ZZ. Then easy to check that b_x is a basis of ZZ so if f is an isomorphism, f(b_x) are the basis.

사실 Free abelian group이 뭐다 라고 explict 하게 딱 정의한 책이 없고 보통 다 저런식으로 정의한다. 별 상관없지만.

참고로 위키백과에서는 Free abelian group을 abelian group with basis 즉, (1)번 정의로 했다.

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Some relation between Free group and Free abelian group

이제 이 둘을 묶는 작업을 할 것이다. 사실살 free abelian group은 이름도 그렇고 정의도 그렇고 free group에서 abelian이 추가 된것 밖에 없다. 실제로 Free abelian group은 Free group의 abelianization이다.

본격적으로 말하기 전에 증명에 쓰이는 universal property를 보고가자. Group theory할 때 나왔던거다.

Thm. Let h: G->H be a homomorphism and let N be a normal subgroup of G such that N is contained in the ker(h). Then there is a unique homomorphism h': G/N->H such that h factor through G/N.

첨언하자면 이거 first isomorphism theorem 증명할 때 쓰이는 universal property다.

Thm. If F is a free group on X with injection i: X->F then F/[F,F] is the free abelian group with injection i': X->F/[F,F] such that the following diagram commutes.

Proof.

자 이걸 이용해서 Free group의 rank도 정의할 수 있다.

만약에 Free group G의 generator X, Y가 있을때, X와 Y의 cardinality는 같다. 그 이유는 X로 generated된 Free group과 Y로 generated된 free group은 isomorphic한데 그렇게 되면 abelinaization을 하면 Free abelian group이 되고 앞에 결과를 통해 X와 Y의 cardinality는 같다고 결론낼 수 있다.

Summary.

이 글은 실제로 나도 보면서 정리해놓은것이기 때문에 아마 계속해서 수정될 것으로 몇번 다시 올라올 것이다. 내용이 추가 될 수도 있고, 뭔가 잘못 설명한게 있을수도 있고, 증명이 좀 이상하거나 더 좋은게 있으면 바꿔서 수정본을 올릴 예정이다.

다음 글은 개강이 얼마 남지 않았으니, 일단 Module theory에 대해서 좀 빠르게 알아보고 그다음에는 여러가지 domain들에 대해서 이야기하겠다.