앞의 제 해설의 부록.

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http://orbi.kr/0002861769 의 부록입니다.

부록 1.

"x^2의 가수는 x^3의 가수보다 크고, x^3의 가수는 x^4의 가수보다 크다"(나)라는 구체적인 사례를 직접 생각해 보는 것이 아니라, "거듭제곱과 가수"에 대한 뭔가 공통적인 성질을 찾아 내어서 이용하는 방법도 있겠습니다.

알고 있다면 쓰면 되겠지만, 모른다면 어떻게 할까요? 알아내어야겠지요. 이럴 때는 아주 간단한 경우를 "실험"해 보는 것이 좋습니다.

가령, 2, 3, 5의 거듭제곱의 가장 큰 자리의 숫자만 보도록 하죠. 그러면

2 4 8 1 3 6 1 2 5 1 2 4 8 1 ...

3 9 2 8 2 7 ...

5 2 1 6 3 ...

입니다. 3이나 5에서는 잘 드러나지 않지만, 2의 거듭제곱을 보면 가장 큰 자리의 숫자는 올라가다가 떨어지고, 그 다음에 좀 올라다가 떨어집니다. 그 상황이 언제일까요?

자리수가 증가할 때로군요. 8은 한 자리 수이지만 16은 두 자리수이고, 64는 두 자리 수이지만 128은 세 자리 수입니다.

이걸 보면서, x^2의 가수가 x^3의 가수보다 클 때는 x^3이 x^2보다 자리수가 하나 더 많을 때라는 추측을 할 수 있습니다. 이 추측을 증명하고자 logx를 n+a로 쓴 뒤 생각해 보면, 꼭 하나만 많을 필요는 없다는 것을 알 수 있습니다. (또는 생각나는 다른 경우를 "실험"해 보면서 알아낼 수도 있습니다) 이제 다시 logx = n + a로 쓰고, 이런저런 해 보면 x^2의 가수가 x^3의 가수보다 클 때는 x^3이 x^2보다 자리수가 많다는 것을 나름 쉽게 증명할 수 있습니다. 마찬가지로, x^n의 가수가 x^(n+1)의 가수보다 클 때는 x^(n+1)이 x^n보다 자리수가 더 많다는 것 또한 같은 방법으로 증명됩니다.

이러한 과정은 시험장에서 이루어질 수도 있겠지만, 그보다는 평소에 기출 문제나 여러 문제를 풀고 공부하면서 이루어지는 것이 나을 겁니다.(이것이 공부에 포함된다고 할 수 있습니다) 단, 그렇게 문제를 공부하면서 알아낸 사실 중에서 다른 문제에도 많이 이용되는 것 중심으로 기억하려고 하고, 나머지는 잊어도 괜찮다는 태도로 임하는 것이 좋습니다.

돌아보면, 거듭제곱과 가수에 대한 사실을 저는 직접 증명한 것이 아니라, 간단한 경우로 "실험"하면서 그럴듯한 추측을 만들어 내고, 그 추측을 증명하고자 하는 과정에서 추측을 보완해 가면서 결국 수학적으로 참인 결론 하나를 증명해 낼 수 있었습니다. 이것이 "발견적 추론"이며, 수학이 실제로 발전해 가는 과정입니다. (여러분은 입체도형의 꼭지점의 수 - 모서리의 수 + 면의 수 = 2라는 수학적인 결론을 들어 본 적이 있을 것입니다. 이것을 간단한 경우에 대한 "실험"을 통하여 추측하고, 추측을 증명하려고 시도하고, 그러면서 추측을 보완해 가면서 최종적으로 수학적으로 참인 결론을 찾아내고 증명하는 과정을 서술함으로써 수학의 발전이 이루어지는 과정에 대한 모델을 하나 제시한 책이 있습니다. "증명과 반박"이라는 책이고, 라카토스라는 사람이 지은 책입니다. 이 사람의 주장, 그리고 이 주장과 비슷한 주장을 수학 교육이 반영해야 한다는 이야기가 많았고, 그 결과가 수능에 "발견적 추론"이 포함된 것입니다. 또한 사실은, 교육 과정에도 포함되어 있습니다.) 강필 선생님이 발견적 추론을 강조하는 것도 비슷한 맥락이라고 보고 있습니다.

어쨌든, 이런 과정에서 x^2보다 크고 x^3보다 작은 10의 자연수 거듭제곱이 존재하고, x^3보다 크고 x^4보다 작은 10의 자연수 거듭제곱이 존재한다고 말할 수 있고, 이런 일이 일어나게 하는 가수의 범위도 찾을 수 있을 겁니다. 그 다음에 그 범위 안에 있는 후보를 고르면 되겠죠.

부록 2.

아예 확 일반적으로 "x가 증가할 때 logx의 가수의 변화"를 생각해 볼 수도 있습니다. 수학에서는 주어진 상황보다 좀 더 일반적으로 생각했더니 뭔가 도움이 되는 경우가 많습니다. 하여튼 생각해 보면, x가 증가하면 보통은 logx의 가수는 증가하지만, x가 10의 자연수 거듭제곱을 막 지나갈 때마다 logx의 가수는 1에서 0으로 떨어진다는 것을 알 수 있습니다. 이에서도 x^2보다 크고 x^3보다 작은 10의 자연수 거듭제곱이 존재하고, x^3보다 크고 x^4보다 작은 10의 자연수 거듭제곱이 존재한다는 것을 찾아낼 수 있고, 다시 이런 일이 일어나는 가수의 범위도 찾을 수 있을 겁니다.

포만한 카페의 한 분의 도움으로 오타 하나 수정하였습니다.