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박재우 T [782346] · MS 2017 (수정됨) · 쪽지

2018-08-22 13:48:13
조회수 6,295

[박재우] 안녕하세요 ^^

게시글 주소: https://orbi.kr/00018181607


오르비 회원 여러분 오랜만입니다.


오르비 클래스 수학강사 박재웁니다.


더위가 가고 기분이 좋아질 것 같은데 곧 9월이네요.


수험생들은 시험이 현실로 느껴지기 시작하는 달입니다.


머 9평이 있어서가 아니구요. 그건 그냥 실전 연습이라고 생각하세요.


원서를 쓰게 되는 달이죠.


이게 말입니다. 원서를 쓰게 되면 기분이 묘해지고 바빠지게 됩니다.


이 것이 모든 컨디션이나 일정이 잘 관리되다가 흔들리게 되는 시발점이 되기도 합니다.


언제나 꾸준히 변함없이 앞만보고 가시기 바랍니다.


하고자 하는 사람은 못 할게 없다는 거 잘 아시죠 ?


저도 개인적으로 먼가를 이루기 위해 많은 준비를 하고 있습니다. 


에너지도 많이 되찾고


꽤나 희망적입니다. 저 개인적으로는요 ㅎㅎ




오늘은 미루어 놓았던 칼럼을 하나 쓸려고 합니다.


공부하다가 지친 머리를 식혀 보시기 바랍니다.


물론 더 뜨거워지는 분들도 있겠지만요. ㅋ


저번 칼럼 처럼 이미지도 부가해서 쓰겠습니다.




수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는


습관이 매우 중요합니다.



 대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.


아닌가요 ? ㅋㅋ


그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?


특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?


수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.


이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.


비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게


좋은 방법이라고 생각합니다.


먼저 원리하나 소개할께요.



* Cavalieri의 원리 *


같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다. 


이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.


각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면


모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?


당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.




이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.


먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요


반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서 


위 아래 두 개의 대칭 원뿔을  


뺀 도형 두 개를 생각해볼께요


그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.




여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다. 


같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로


두 입체의 부피는 같습니다.


오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로 



그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.


모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.


이해가 좀 되셨는 지요.



그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라 


평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.



단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.


물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.


암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.


물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.


미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요 


오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서 


아래쪽에 다시 그려 놓았습니다. 




   이해 되셨나요 ?


왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서 


동일한 단면적을 갖습니다.  


피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서 


직선이 되는 것은 아실겁니다.


그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면 



이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.


도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는


것이 강점입니다.



요즘은 정사영 이면각이 잘 안나오는 추세지만 


예전에 이런 문제가 나온적이 있었죠.


기억니시나요 ?






 

어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^


열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.





  




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