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강민경일루와 [338005] · MS 2010 · 쪽지

2011-02-27 20:57:56
조회수 922

정적분- 입체부피 질문이요.. 돠주세용 괴수님들 도와주세요

게시글 주소: https://orbi.kr/000914436


입체의 부피부분에서 반지름의 길이가 r인 직원기둥을 밑명의 중심을 지나고 밑면과 Θ의 각을 이루는 평면으로
자를때, 작은것의 부피 -> V= 2/3 r^3 tanΘ 있잖아요. 책에는 공식만써서 풀거나.. 좌표에다 넣거나 둘중 하나던데..

제가 한번 유도해봤는데요. 계속 1/3 r^3 tanΘ 라고 나오네요. 어떻게 했냐면요..ㅠㅠ

그 작은 도형을 자른 평면a와 수직인 평면b로 한번 더 잘랐을때 나오는 임이의 단면의 넓이를 1/2 x^2 tanΘ라고 했는데요.. 여기서 x의 범위는 [0,r]

이 단면을 정적분하면 1/6 r^3 tanΘ가 나오잖아용.. 근데 그게 똑같은게 하나 더 있으니까 x2하면 1/3 r^3 tanΘ인데..

공식은 2/3 r^3 tanΘ이구요.. 아 왜죠 ㅠ

그림좀 봐주세요! 첨부파일..

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강민경일루와 [338005]

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 20:59 · MS 2010

    2곱한건 x가 0에서 부터 r 까지 변하고 그게 두개있어서..인데 애초에 저렇게 유도한것 자체가 잘못된건가요?..

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  • 난만한 · 347173 · 11/02/27 21:07 · MS 2010

    그림 하나도모르겟음.. ㅋㅋ ㅠㅠ

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:10 · MS 2010

    그림첨부제대로 하려고하는데 어떻게 하는지 몰라서 걍... 그림판에 그렸는데..

    저게 직원기둥을 밑면의 중식을 지나고 밑면과 Θ의 각을 이루는 평면으로 자를때, 작은 도형이에요

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  • Dfine · 298807 · 11/02/27 21:13 · MS 2009

    아.. 지금 저 그림으로 추론할 수 있는 건 중심에서 잘라 놓은 곳까지를 보통 x로 잡고 거기서 피타고라스로 밑변 길이를 구하죠

    근데 그냥 밑변 길이를 x로 잡으셔서 그런듯요

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:22 · MS 2010

    밑면의 길이를 x로 잡은게 왜 잘못되었는지 그걸 모르겟네요. 캐스커님 설명덕분에 이해는 했는데 .. 저걸 현의 호의길이는 비례하지 않아서 생기는 현상이라고 ㄷ봐야되나.. 암튼 공식도 완전 잘못된게 아니라 값자체가 두배차이로 밖에 안나와서.. 뭔가 어디서 잘못되긴 잘못됫는데 ..;

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  • 캐스커! · 341872 · 11/02/27 21:16 · MS 2017

    x변수를 잘못잡으신거아닌가요?

    원점으로부터의 거리를 x로 잡고 삼각형 넓이를 계산했던거같은데

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:19 · MS 2010

    좌표 안쓰고 그냥은 못푸나요? 개념원리에도 원점에서 어떻게 하던데..

    저 x가 밑면의 테두리에서 지름에 내린 수선의 길이라고 보면되는데.. x가 0부터 r까지 변하고.. 그걸 적분한게 두개 있으니까..

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  • 캐스커! · 341872 · 11/02/27 21:18 · MS 2017

    원점으로부터의 거리를x라고 잡으면 님이 x라고 잡으신 삼각형의 밑변의 길이는 루트r^2 -x^2이 나와요

    그래서 삼각형의 넓이는 1/2(r^2-x^2)tanΘ 가 되요

    이걸 0부터 r까지 정적분하면 1/3r^2tanΘ가 나오고 2배하면 2/3r^2tanΘ가 나오네여

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  • Dfine · 298807 · 11/02/27 21:20 · MS 2009

    근데 왜 다를까요 갑자기 궁금해짐

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:20 · MS 2010

    아. 그냥 원 테두리에서 지름까지 그은 수선의 길이를 x라고 놓으면 안되는거였구나.. 근데 그 이유를 모르겟네요 흐엉 ㅠ

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  • 캐스커! · 341872 · 11/02/27 21:22 · MS 2017

    작년에 바이블 풀때 이것때문에 왜 절반밖에 안나오는지 며칠동안 머리싸매고 나서 깨달음을 얻었엇는데.. 휴 기억이 안나네요


    님이 잡으신 x가 곡면을 타고 가서 그랬던거 같은데.. 으엉 기억이 잘 안나요 죄송합니담ㅠㅠ

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:23 · MS 2010

    네.. 혹시 x를 연장해서 맞은편 테두리까지 그으면 현이 되는데 현은 원에서 각에 비례하지 않아서 생기는 일종의 오류라고 해야되나..(변화율이 달라서인가;) 제추측인데 아무튼

    직관적으로 딱 이해가 안가니까 미치겠네요. .이것때매 두시간째 다른문제도 못풀고;; 걍넘기면 찝찝하고 ㅠ

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  • 난만한 · 347173 · 11/02/27 21:24 · MS 2010

    x축을 설정하세요 .. 자른단면이랑 "수직"이 되도록 이요.. ㅎㅎ x를 막무가내로 잡으셨네요

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:26 · MS 2010

    x축을 저 원의 지름이라고 놓으면..

    음 제가 풀이한것도 언뜻보면 오류가 없어보이는데 분명히 어딘가 오류가있어요.. 수직으로 그은것도 맞는데..; 왜 이런오류가 생기는지 ㅠ;

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  • 난만한 · 347173 · 11/02/27 21:28 · MS 2010

    지름이 x축이면.. 님이잡은길이는 x가 아니고 위엣분말대로 r^2 - x^2 이 되야하죠..

    밑면이 원이아닌 정사각형(마름모)모양이였다면 님처럼하는게 맞지만요..

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:31 · MS 2010

    x축을 안잡고 그냥 제가 임의로 x를 저렇게 놓으면 거기서 오류가 생기는구나.; 근데 저게 오류라고 느껴지지 않을만큼 풀이할 때 자연스러웠는데

    혼란스럽네요 !..;

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  • 난만한 · 347173 · 11/02/27 21:33 · MS 2010

    님이잡은 x에대해서 delta x 를 생각해보세요

    도저히 미세부피의 높이가 못되지요....

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:35 · MS 2010

    아 ㅡㅡ; 내가 바보였구나. 이제 알겠네요 delta x가 미세부피의 높이가 되도록 x를 설정해야되는데 희안하게 설정해놓으니까..

    정적분 정의를 생각안하고 푸니까 이렇게 되네요 고맙습니다 ㅠㅠ

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  • 난만한 · 347173 · 11/02/27 21:37 · MS 2010

    그러니 x축을 "자른단면"에 "수직"이 되도록 설정해야합니다..

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:39 · MS 2010

    넵! 근데 이게; 일종의 유형인가요. 틀린 이유는 알겠는데 직관적으로 깨닫기는 아직 좀 시간이 ..

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  • 캐스커! · 341872 · 11/02/27 21:33 · MS 2017

    님이 구하신 부피는 아마

    밑변이 직각삼각형인 직각삼각뿔(?)인거 같아요

    x의 변화율때문에 문제가 생긴거같은데

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:35 · MS 2010

    첨부터 다시 고민해봐야겠어요 머릿속으로 그려가면서 흑흑

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  • 캐스커! · 341872 · 11/02/27 21:35 · MS 2017

    난만한님 말씀처럼

    부피라는게 넓이에다가 delta x를 곱해서 좌르르르륵 합해버려야되는건데

    그렇게 x를 잡아버리면 불가능하잖아염 님이 자르신 단면인 직각삼각형에 수직이 되도록 x를 잡는게 맞는거같아요

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  • 강민경일루와 · 338005 · 11/02/27 21:38 · MS 2010

    네 ㅠ 정적분의 정의가 넓이에다가 Δx곱해서 좍 더하는건데;;

    아 이제 알겠네요. 근데 계속 나처럼 x를 두면 어떻게하면 공식을 바로 할까라는생각에 사로잡히는..

    정의가 중요하군요.. 희안하게 x를 두면 Δx를 뭘로둘지 모르니까..

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