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개들이랑 같이 살고 싶어서 사수함 [871674] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2026-07-17 02:32:00
조회수 145

270622 해설 보충(k값이 겹치지 않는 이유가 무엇인가)

게시글 주소: https://orbi.kr/00078953072



수열 {a_n}은 a_1 = 1, a_3 = 4 이고 모든 자연수 n에 대하여

a_2n = a_n + 1 , a_4n+1 = a_4n+3 = a_n + 4

를 만족시킨다. a_k = 10을 만족시키는 자연수 k의 개수를 구하시오


0.문항을 푸는 것에 주안점을 두지 않았습니다. 풀이는 숙지하시고 보시길 바랍니다.

a_n을 보기보다는 n을 관찰할 것입니다.


1.시험장에서는 겹치지 않음을 어떻게 판단하였는가?

1)4+4+1,4+1+4,1+1+4

2)1+1+1+1+1+4(의 6가지 케이스)

3)1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

4)4+1+1,1+4+1,1+1+4

5)1+1+1+1+1+1

에서 1)의 첫 케이스만 보겠습니다. 

ㄱ.4n+1, 4n+1, 2n

ㄴ.4n+1, 4n+3, 2n

ㄷ.4n+3, 4n+1, 2n

ㄹ.4n+3, 4n+3, 2n 로 분류할 수 있습니다. 이에 대해 각각 시초값으로 a를 대입하면 

ㄱ은 32a+10  ㄴ은32a+14   ㄷ은32a+26  ㄹ은 32a+30으로 각  동일 *)분류* 내에서 속하는 값은 다 다르게 나올 수 밖에 없는 것을 관찰할 수 있습니다.


*)분류* 간의 겹치지 않음은 어떻게 판단할 수 있었는가?  

지수스케일에 가까워 겹치지 않을 거라 찍었습니다. 2n을 여러번 대입하면 2ᵅ ×n꼴이므로 겹치지 않겠다.


2. 수열 인덱스의 트리구조(개같은 말을 썼지만 겹치지 않는 모양이라고 생각하시면 됩니다)

먼저 나머지기준으로 수열을 분류해봅시다.

a_2n = a_n + 1을  a_4n=a_2n,    a_4n+2=a_2n +1으로 두면


 a_4n=a_2n= a_n +2 (큰 의미는 없고 시각적 용이함을 위함)

a_4n+1 =  a_n + 4

 a_4n+2=a_2n  +1

 a_4n+3 = a_n + 4 

이렇게 둔다면 n=1,2,3,4,5.... 대입한다고 생각해봅시다 음 헷갈려서 아무것도 안 되시죠


더 보기 편하게 n만 관찰해볼게요

4n

4n+1

4n+2    

4n+3  이 네 개의 숫자는 어디에서 왔을까요? n에서 왓습니다.

n=1,2,3,45.....을 대입한다면 모든 항을 다 채움과 동시에 *겹치지 않게* 각 항에 들어갑니다

(나머지분류를 기준으로 해놔서 각 항을 겹치지 않고 빠짐 없이 채우는 겁니다)

그러면 순방향으로 갈 때는 발산형태를 띄어 겹치지 않겠죠? 

(n=1->4567, n=2-> 8,9,10,11......)


ㅇㅋㅇㅋ 그러면 n=1,2,3,4,5,6,7,8...을 다 넣으면  순방향으로 다 채워지는 건 오케이 ㅇㅇ

근데 에 n=10 넣는 순간을 생각할 때 n=10이 되게끔 해주는 직전항이 겹치면 어쩔 건데?


A.n=10을 만들어주는 직전항조차도  나머지 분류기준에 의해 4n+2에 n=2대입해서 온 친구입니다

(직전항도 나머지분류에 의헤서 겹칠 수 없도록 돼 있습니다.)

A. 순방향으로 처음부터 끝까지 다 채우는 것과 동일한 논리입니다


당연해보일 수 있으나 시중 해설에 설명이 없는 것 같아 올립니다. 누군가에게는 도움이 되길 바라며, 앞서 제게 좋은 태도와 지식을 알려준 여러 칼럼러분(과 책팔이형님들)께 감사드립니다.  

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