[이동훈t] 6모 공통 21번 분석 (+5년 더 합니다.)

Question

2027 이동훈 기출  https://atom.ac/books/13719      안녕하세요.     이동훈 기출문제집의  이동훈 입니다.   오늘은   6월 모의고사 공통 21 번을   분석하겠습니다.   시작하기 전에 알림 사항이 하나 있는데요 ...   오르비와 계약을 5 년 더 연장하였습니다 !   2032 학년도 까지  기출문제집을 계속 출시할 것입니다.  이번이 3 번째 시즌이 되는데요.  좋은 컨텐츠로 만날 수 있도록 노력하겠습니다.   올해 남은 기간 동안에는 ...  올해 6월 모평 해설지 + 분석 (6월 말) 작년 수능 수학 분석 (7월~8월 중) 올해 9월 모평 해설지 + 분석 (9월 말)  이렇게 세 개의 칼럼을 올려드릴 예정입니다.   참고로 작년 수능 해설지는  아래에서 다운 받으실 수 있습니다.  [이동훈t] 26 수학 해설 PDF (+27 기출 표지) https://orbi.kr/00075726488   교육청. 사관, 경찰의 경우에는  특별한 문제가 보이면  개별 문항 분석글을 쓸 수도 있는데 ... 아직까지는 특별한 문제가 보이지는 않습니다.    이제 본론 들어가실까요?       이 문제를 푸는 방법은  다음의 두 개로 수렴할 것 같은데요.   (1) 삼차함수 f(x) 의 그래프를  직선 y=x 에 대하여 대칭이동시켜서 푼다.   (2) 곡선 y=f(x) 위의  점 ( g(t), f ' (t) - 4t^2 + 4 ) 을 움직이면서 g(t) 의 값의 변화를 관찰한다.   (2) 번이  아마도 출제의도에 부합하는 풀이,   (1) 번은 빠른(=한 눈에 보이는) 풀이입니다. 시행착오의 횟수도 적을 것이고요.   이 글은  (1) -> (2)   의 순서대로 진행해보겠습니다.    문제에서 삼차함수 f(x) 를 주었고, 그래프의 개형을 결정해야 하므로  f(x) 가 역함수를 갖는 경우,  f(x) 가 역함수를 갖지 않는 경우  로 구분해야 합니다.   우선 f(x) 가 역함수를 갖는 경우.     위의 그림에서  f ' (t) - 4t^2 + 4 = -t^2 + ...  이고, 이제 세 개의 점  ( t , -t^2 + ... ),  ( -t^2 + ... , f^(-1)(-t^2 + ...) ) ( t, g(t) )  (이때, g(t) = f^(-1)(-t^2 + ...))  를 찍어서  합성함수의 그래프를 그리면 위와 같습니다.    함수 g(t) 는 연속함수이므로 문제에서 주어진 조건을 만족시키지 않지요.    함수 f(x) 가 역함수를 갖지 않는 경우  함수 f(x) 의 그래프를  직선 y=x 에 대하여 대칭이동시키면 아래 그림과 같습니다. (편의상 이 그래프를 f^(-1) 라고 둠.)   만약 서술형 시험이라면  함수 f(x) 가 각 구간에서 역함수를 갖도록 (단, (p, f(p)) 는 극대점, (q, f(q)) 는 극소점)  (-inf, p), (p, q), (q, inf)  의 세 구간으로 나누어서   각각의 구간에서의  역함수 f^(-1) 을 따로 생각해야겠지만  아래 그림처럼 한 번에 그려서  alpha 의 값을 결정하는 것과 다르지 않습니다.  이때, 무연근 처리만 제대로 해주면 됩니다.      위의 그림처럼 alpha 의 값은 f ' (t) - 4t^2 + 4 (= -t^2 + ...) 의 값에 따라서 1 개 또는 2 개 또는 3 개 인데 ...  위와 같이 가장 큰 값을 g(t) 라고 하면 아래의 그림을 얻는다.      위의 그림처럼 역함수 f^(-1)(x) 의 그래프를 결정하면  비로소   f( g(t) ) = f ' (t) - 4t^2 + 4  의 양변에 f^(-1) 를 취해서  g(t) = f^(-1) ( f ' (t) - 4t^2 + 4 )  의 등식을 얻게 되고,  합성함수의 그래프를 그리면 됩니다.       위와 같이 이차함수   f ' (t) - 4t^2 + 4 = -t^2 + ...  의 최댓값을 각각 M1, M2, M3 로 두면  아래와 같이  함수 g(t) 의 그래프 개형을  세 가지 경우로 구분할 수 있습니다.      함수 g(t) 의 불연속 점의 개수는 1 이므로 2번이 답.  나머지 계산은 생략 합니다.    함수 f(x) 의 그래프의 개형을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동시켜서   풀어야 하는 문제는 이미 출제된 적이 있습니다. (아래)      이 문제에서 주어진 방정식  f(f(f(x))) = x  의 양변에 f^(-1) 을 취하면  f(f(x)) = f^(-1)(x) -----(*)  을 얻고, 두 곡선  y = f(f(x)) , y = f^(-1)(x)  의 그래프를 한 평면에 그려서  교점을 모두 찾으면 됩니다.  이때, 아래의 풀이처럼   함수 f 가 역함수를 갖도록  두 구간 (0, 1/2), (1/2, 1) 로 나누어서 방정식 (*)을 두 번에 나누어서 풀면 되는데요.  결과적으로  곡선 y = f(f(x)) 와 곡선 y = f(x) 를 직선 y=x 에 대하여 대칭이동시킨 곡선의 교점을 모두 찾는 것과 같습니다.  왜냐하면 무연근에 해당하는 점이 없기 때문이지요.  하지만 이 방법의 경우,  일반적으로  무연근에 해당하는 점이 발생할 수 있으므로  모든 교점에 대하여  문제에서 주어진 방정식을 만족시키는지를  반드시 확인해야 합니다.          이처럼 이번 6월 공통 21 번의  출제 근거를 거슬러 올라가면  무려 수능 첫 해의  기출 문제에 다다르게 됩니다.   그래서 평가원 기출은  전체 연도의 (시험 범위 안의) 모든 문제를 풀어야 합니다.  직접 출제 범위 뿐만 아니라 간접 출제 범위까지 풀어주는 것이 필요합니다.   고1 기출은 아래에서 다운로드.  고1 기출 평가원+교사경 (무료PDF)  https://orbi.kr/00070798256     이제 (2) 번에 해당하는 풀이를 알아보면.      이 문제를 읽고 나서 세 개의 상자에서 요구하는 것이  바로 파악 되어야 합니다.    붉은 상자 :   삼차함수의 그래프의 개형  (역함수 존재하는 경우, 아닌 경우)    푸른 상자 :   곡선 y=f(x) 위의 점 (alpha, f ' (t) - 4t^2 + 4 ) 의 변화 관찰  왜냐하면 미정계수로 접근 하려니 g(t) 가 다항함수가 아니기 때문입니다.  그리고   y = f ' (t) - 4t^2 + 4 = -t^2 + ...  이 이차함수의 꼭짓점의 좌표를 (설정 후) 결정해야 한다. (이차함수가 보이면  일단 꼭짓점이 어디 있는지  확인하는 것이 기본입니다.)    초록 상자 :  x 축 위에 놓인 alpha 의 값이 갑자기 튀는  (즉, 불연속인) 지점 찾기 그런데 어차피 삼차함수 f 의 극점일 가능성이 높다.    여기까지 파악하면 ...  푸른 상자에서 주어진  이차함수의 꼭짓점의 y 좌표를 M 으로 두었을 때,  초록 상자의 주어진 조건에서  함수 y=f(x) 의 한 극점의 좌표가 (1, M)  이지 않은가 하는 생각이 들어야 합니다. (풀이 과정에서 극소점임을 알 수 있음)  그리고 가장 먼저 이를 확인해야 합니다.    요컨대 ...  이 문제 해결의 핵심은  f(A)=B  (필충) 곡선 y=f(x) 가 점 (A, B)를 지난다.  라는 당연한 명제를 생각할 수 있는가 ? 인데요.   수능에서 매년 출제되는 명제이고 ...  올해도 100 % 나온다고 봐야 겠지요.   이게 잘 보이게 나오느냐,  아니면 이 문제 처럼 잘 보이지 않게 나오느냐  이런 차이점이 있는 것이고 ...   위의 명제 보다 더 중요한 명제는  고등학교 교육과정에 몇 개 없습니다.   점과 곡선에 대해서는 내 책의 이론 편에서 한 꼭지로 다루고 있습니다.  (2027 이동훈 기출 수학1 평가원 편 - 이론 편)       위의 설명에서도  세 개의 점을 찍어서  그래프의 개형을 그려야 함을  강조하고 있습니다.  그래프의 개형을 그릴 때에는 우선 점을 몇 개 찍어보는 것으로  시작해야 하니까요.  위의 이론을 기반으로 하는 기출로는 아래가 대표적이겠지요.      곡선 y=f(x) 위의 점 (g(x), f(g(x))) 을 움직이면서 접선의 기울기를 관찰한다.  이게 출제의도로 보이고 ... 이 방향이 계산도 깔끔합니다.    이제 공통 21 번을 본격적으로 살펴보면.   (1) 붉은 상자 :   f(2) 의 값을 구하라고 하였으므로 함수 f(x) 의 방정식을 유도해야 한다.  f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c  로 두고,   처음부터 끝까지 계산만 할지,   삼차함수의 그래프의 개형을 1-1함수인 경우, 아닌 경우로 나누어서  기하적인 접근을 할지, 한다면 풀이의 어느 단계에서  도입 할지 결정해야 한다. (아래 그림)      (2) 푸른 상자 :   함수 f 가 역함수를 갖는 구간에서 문제에서 주어진 등식을 변형하면  g(t) = f^(-1) ( f ' (t) - 4t^2 + 4 ) ---(*)  이때, 일반적으로  삼차함수의 역함수 f^(-1) 은 다항함수가 아니므로 g(t) 는 다항함수가 아니다.  (이 순간 시험 범위를 벗어남.)  따라서 위와 같이 식을 변형시킨 상태에서 수식으로 풀이를 진행시키는 것은 의미가 없다.  따라서 그림으로 접근해야 한다는 생각이 들어야 하고 ...   이제 삼차함수 f(x) 의 그래프의 개형을 그려놓고,  곡선 y=f(x) 위의  점 (alpha, f ' (t) - 4t^2 + 4) 즉, 점 (g(t), f ' (t) - 4t^2 + 4) 을 움직이면서  함수 g(t) 의 값의 변화 관찰하면 된다.  이때, (*) 식에서  역함수의 관점에서 g(t) 의 값을  x 축 위에 찍어나가면 됩니다.    (3) 초록 상자 :   함수 g(t) 의 그래프의 개형을 그려야 하는데.  다음과 같이 세 개의 점의 움직임을 동시에 따지면 된다.  P ( t , f ' (t) - 4t^2 + 4 ),  Q ( g(t) , f ' (t) - 4t^2 + 4 ),  R ( t , g(t) )  합성함수의 그래프의 개형을  그리는 방식을 따른 것이지요.   예를 들어 합성함수 y=f(g(x)) 의 그래프를 그릴 때,  세 개의 점  P (x, g(x)), Q(g(x), f(g(x))), R(x, f(g(x)))  의 변화를 동시에 관찰하는 것과 같다.    이제 아래의 세 경우로 구분해서  함수 g(t) 의 방정식을 결정하면 됩니다.  (경우1)  f 가 역함수를 갖는 경우  (경우2-1)  f 가 역함수를 갖지 않는 경우 & 극솟값이 M이다.  (경우2-2)  f 가 역함수를 갖지 않는 경우 & 극솟값이 M 보다 작다.    이 문제의 경우에는  (경우2-1)이 답인 것이 잘 보이긴 하지요.   각 경우를 그려보면 ...   (경우2-1)           (경우1)    함수 g(t) 는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 탈락.    (경우2-2)    함수 g(x)의 불연속 점의 개수는 2 이므로 탈락.   나머지 계산 과정은 생략 합니다.  . . .  이번 21번을 풀고 나서  위와 같이 이론적인 측면을  깔끔하게 정리해야 수능 날 고득점을 노려볼 수 있을 것입니다.  위에서 얘기한 것처럼 ... 어차피 올해 수능에 100 % 출제될 주제라 ...  제 기출문제집의 이론 파트+해설과 오르비에 올려드리는 칼럼도 참고하시길 권합니다.  . . .  6모 해설지와 전 문항 분석글은 6월 말에 올려 드릴 것입니다.   다음에 또 만나요 ~!     노베 기출 수학1+수학2+미적분 (PDF)   https://docs.orbi.kr/docs/13958  노베 기출 수학1+수학2+확률과 통계 (PDF)   https://docs.orbi.kr/docs/13959  2027 이동훈 기출 기하 PDF https://docs.orbi.kr/docs/13974  2027 이동훈 기출 미적분 교사경 PDF https://docs.orbi.kr/docs/13975  고1 기출 평가원+교사경 (무료PDF)  https://orbi.kr/00070798256  학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24) https://orbi.kr/00066979648   2027 이동훈 기출 실물 책  https://atom.ac/books/13719

이동훈t · Accepted Answer

y=f(x) 의 그래프를 직선 y=x 에 대하여 대칭이동 시켜서 푸는 것도 가능한데, 이 관점에 대한 설명은 금(12일) 중에 추가할 것입니다. :)

[이동훈t] 6모 공통 21번 분석 (+5년 더 합니다.)

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