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파란[波瀾] [1453663] · MS 2026 (수정됨) · 쪽지

2026-06-10 15:28:45
조회수 326

[270613] 이거 어캐 증명함?

게시글 주소: https://orbi.kr/00078603847


ㄷ을 풀 때,


x>0에서만 f(x) − g(x) = x² − 2x + 2 인데


f(x)와 g(x)가 둘 다 다항함수이므로 당연히 x≤0일 때에도 같은 식이 성립한다고 생각하고 푸신 분들이 많았을 것으로 생각됩니다.


아니면 그냥 별 생각 없이 -2부터 2까지 적분하여 ㄷ의 참·거짓을 판정하셨을 수도 있습니다.


근데 뭔가 찝찝한 기분이 들지 않나요? 정답만 내면 되는 모의고사니까 간단히 넘어갔지, 만약 수리논술처럼 풀이 과정도 중요한 시험이었다면 저 정도만 써도 충분했을까요?









물론 시험장에서 이 정도 직관으로 빠르게 넘어가는 건 올바른 전략입니다. 일일이 따졌다간 시간 낭비만 할 뿐이니까요. 하지만 시험이 끝나고 복습할 때,


“왜 x>0에서만 성립하는 걸 실수 전체로 확장할 수 있지?”


라는 질문을 한 번 던져보는 것, 이게 수학 실력을 진짜로 성장시킬 것입니다.


혹시 명쾌한 증명이 어렵다면, 스스로 조금 더 생각해보시고 아래를 확인해보세요.









설명

f(x)와 g(x)가 다항함수이므로 함수

p(x) = f(x) − g(x) − (x²−2x+2)

도 다항함수입니다. 이때 x>0인 모든 실수 x에 대하여 p(x)=0이므로, 방정식 p(x)=0의 실근은 무한히 많습니다.


n차방정식의 실근은 최대 n개이므로, p(x)=0의 실근이 무한히 많다는 것은 p(x)가 어떤 차수의 다항식도 아니라는 뜻입니다. 


즉, 모든 실수 x에 대하여 p(x)=0임을 의미합니다.


따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x) − g(x) = x² − 2x + 2 라 할 수 있고, 


이를 바탕으로 ㄷ을 무리 없이 풀어낼 수 있습니다.








위 증명을 읽으며 “엥? 이게 뭔 소리야?” 했을 수 있는 부분을 짚어 보충설명 드리겠습니다. (클릭하면 열림)

보충설명 1 — n차방정식의 실근은 최대 n개?

고등학교 교과서에 명시된 성질은 아니지만, 고1수학의 인수정리를 통해 이해할 수 있습니다.

n차 다항식 p(x)가 실근 a₁을 가진다고 합시다. 즉 p(a₁)=0이면, 인수정리에 의해

p(x) = (x − a₁) · q₁(x)

로 쓸 수 있고, 이때 q₁(x)는 n−1차 다항식입니다.

여기에 또 다른 실근 a₂ (단, a₁≠a₂)가 있다고 합시다. x=a₂를 대입하면 p(a₂)=(a₂−a₁)·q₁(a₂)=0인데, a₂−a₁≠0이므로 q₁(a₂)=0이어야 합니다. 그러면 q₁(x)에도 인수정리를 다시 적용할 수 있어

p(x) = (x − a₁)(x − a₂) · q₂(x)

가 됩니다. 이렇게 서로 다른 실근을 하나 찾을 때마다 차수가 1씩 줄어드는 인수가 떨어져 나옵니다. 시작이 n차였으니 이 과정은 많아야 n번만 가능하고, 따라서 서로 다른 실근은 많아야 n개입니다.

※ 엄밀히는 “이 과정을 반복하면” 부분을 수학적 귀납법으로 서술해야 하고, 더 깊이 가면 대학 수준의 논의가 필요합니다. 고등학교 수준에선 이 흐름으로 납득하면 충분합니다.

보충설명 2 — 실근이 무한히 많으면 왜 p(x)=0일까?

우리가 결국 보이고 싶은 건 “모든 실수 x에서 p(x)=0”이라는 사실, 즉 p(x)=0이 항등식이라는 것입니다. 이걸 반대로 가정해서 모순을 끌어내 봅시다.

p(x)=0이 항등식이 아니라고, 즉 p(x)가 0이 아닌 다항식이라고 가정해봅시다.

그러면 p(x)는 차수가 분명히 정해져 있습니다. 그 차수를 n이라고 두겠습니다.

(예를 들어 p(x)=3이면 n=0, p(x)=x²+1이면 n=2가 됩니다.)

그러면 보충설명 1에서 봤듯, 방정식 p(x)=0의 실근은 많아야 n개입니다.

그런데 우리가 다루는 p(x)는 x>0인 모든 실수를 실근으로 가집니다. 즉 실근이 무한히 많습니다.

“많아야 n개”여야 하는데 무한히 많다니, 이건 말이 안 됩니다.

결국 “p(x)=0이 항등식이 아니다”라는 처음 가정이 틀린 것입니다. 따라서 p(x)=0은 항등식이고, 모든 실수 x에 대해 p(x)=0입니다.







당연한 이야기지만, 시험장에서 이걸 다 따져가며 풀자는 것이 아닙니다.


하지만 복습할 때 “왜 되는 거지?”를 한 번이라도 파고든 사람과 그냥 넘어간 사람은,

비슷한 논리가 다른 문제에서 나왔을 때 확실히 차이가 납니다.


화이팅!









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