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격차 김윤성 [1077248] · MS 2021 · 쪽지

2026-06-05 23:57:17
조회수 297

270622: 수열을 대하는 기본적인 방법

게시글 주소: https://orbi.kr/00078558176


일단 본격적인 문제 풀이에 앞서 

교과서를 보겠습니다. 




교과서에서는 수열의 귀납적 정의를 다음과 같이 설명합니다.


“첫 몇 개의 항”과 “이웃하는 항 사이의 관계”가 주어지면, 

수열의 모든 항을 구할 수 있다.


앞선 칼럼에서도 여러 번 이야기했듯이, 예시를 직접 나열해 보며 그 안에서 원리를 찾아가는 과정은 평가원이 실제로 평가하고자 하는 “수학적 사고력” 중 하나입니다.


평가원이 단순히 모든 항을 전부 나열하는 능력을 평가하려고 문제를 내지는 않습니다. 

게다가 그런 계산 자체가 목적이라면 보통 3개 이하의 항만 묻습니다. 



평가원도 의미 없는 반복 계산을 시키는 집단은 아니니까요.




이 사실들을 종합해 보면, 다음과 같은 결론에 도달할 수 있습니다.


“수열 문제는 결국 몇 개의 항을 직접 나열해 보면서, 

그 수열 안에 숨어 있는 어떤 규칙을 찾아내는 능력을 평가하는 것이구나.”


ㅡ유식한 말로 "귀납적 추론 능력" 입니다.


여기서 이런 질문이 나올 수 있습니다.


“선생님, 그런데 기출 중에는 규칙이 아예 없는 경우도 많지 않았나요?”


아닙니다. 대부분의 경우 규칙이 없는 것이 아닙니다.


정확히 말하면, “네가 못 찾은 것”이거나 “찾으려는 노력을 충분히 하지 않은 것”에 가깝습니다.


적어도 개정 이후 수학Ⅰ에서 출제된 수열 고난도 문항들은 100% 전부 규칙이 존재합니다!




물론 규칙을 찾지 못하는 이유는 여러 가지가 있습니다. 그중 많은 학생들이나 심지어 몇몇 강사들까지도 !! 착각하는 지점은


“대칭성, 주기성처럼 명시적으로 표현할 수 있는 것만 규칙이다”라고 생각한다는 점입니다.



그렇다면 여기서 의문이 생깁니다.


대칭성이나 주기성이 아니라면, 도대체 어떤 것을 규칙이라고 볼 수 있을까요?


그리고 그런 규칙은 어떻게 찾아갈 수 있을까요?


그 답은 바로 “묻는 값을 기준으로 찾아가기”입니다.



이렇게만 말하면 아직은 다소 추상적으로 느껴질 수 있습니다.

그래서 지금부터 아래 22번 문항을 함께 풀어 보면서, 이 말이 정확히 무엇을 의미하는지 직접 확인해 보겠습니다.

 


올해 6월 22번을 풀어볼 텐데,

수열의 기본은 나열입니다.


규칙을 발견하기 전까지 초기 항들을 나열하는 것은 반드시 필요한 일입니다.

단, 규칙을 발견하기 전까지만 나열하는 겁니다!


자, 일단 a_1=1부터 시작해 보겠습니다.



a_1=1이었으니까, (+1) 을 해서 a_2=2가 됩니다. 아래 그림처럼요!



그리고 (a_2, a_4, a_8)처럼 첨자가 2배씩 커질수록 값이 1씩 늘어난다는 것을 알 수 있죠.


이렇게 쭉쭉 커질거고...


그런데 규칙이 이것만 있는 것은 아니죠.


a_5랑 a_7은 a_1+4가 됩니다!

 



여기서 규칙이 바로 보이면 좋겠지만, 아직 뭔가 모르겠으니 더 나열해봅니다. 



위 그림처럼 a5=5도 +1인거 한 개를 생성할거고 +4인거 2개씩을 생성하겠죠. a7=5도 이어서 나열해봅니다. 





일단 여기까지 나열하면, 다음 정도는 생각할 수 있지 않을까요? 


어떤 한 노드(a_n)에 대하여, 그 노드 하나당 


1) +1인 항(파란색 화살표) 1개

2) +4인 항(주황색 화살표) 2개


를 생성한다는 것쯤은요! 


그런데 문제는 반대로 

“역으로 a_k가 어떤 값이 되는 k의 개수”를 묻고 있네요. 


근데 솔직히 이쯤되면, 묘한 확신? 직감? 같은 게 들기 시작합니다. 

아, 이거 뭔가 규칙이 있을 것 같은데?

내가 저능해서 바로 못 알아보는거지 뭔가 규칙이 있을거 같은데?




이런 생각이 들었다면 문제 풀이의 70퍼 정도를 성공한겁니다! 

이 생각이 든 직후 "이것"만 했다면요.


근데 여러분은 그것을 안해서 틀린겁니다.



제가 항상! 모든 칼럼에서! 강조하는 말이 있습니다.


규칙은 뭐라구요? 


- 항상 묻는 값에 근거해서 생각하는 겁니다.


모르면 어떻게 하라구요? 


- 예시를 들어 생각하는 겁니다. 




저는 a_k=10인 k의 개수는 모르고 힘들고 어렵고 너무 많아보이니까(ㅠㅠ)


제가 나열한 것들 중에서 a_k=5인 k를 찾아보는 걸로 한 번 연습해볼 겁니다. 


이런해결방법을헝가리의Pólya는단순화하여해결하기라하는데어려운문제를만났을때취할수있는대표적인문제해결방법론입니다.Pólya의‘단순화하여해결하기’는어려운문제를만났을때조건이나수,범위,상황을줄여더쉬운문제로바꾸어풀어보는휴리스틱방법으로이방법은학습자가문제의핵심구조를발견하고,규칙을추론하며,복잡한문제를스스로해결할수있도록돕는교육학적전략입니다.또한문제해결에대한두려움을낮추고,작은성공경험을통해자신감과수학적사고력을기르는역할을합니다.

 

요약하면,


그냥 10이 너무 어려우니까 더 쉬운 5부터 예시로 해봐서 뭔가 발견하겠다 이 뜻입니다. 


그러면 우리는 앞선 나열 과정을 통해 

1) an=5인 것이 a1로부터 온 주황색 화살표 2개랑 

2) a8로부터 온 파란색 화살표 1개로 구성된 것을 


쉽게 파악할 수 있습니다. 

오호라....



그러면 an=6일 때를 한 번 더 해볼까요? 



이번엔 


1) a5, a7, a16으로 인해 온 a32, a10, a14(파란색 노드들) 3개와 

2) an=2로부터 온 주황 노드 2개


로 구성되어 있네요.


슬슬 감이 오시나요? 



그러면 아래처럼 되지 않을까요?


☆ an=7인 경우 ☆ 


an=6인 항 5개로 부터 생성된 파란색 노드들 각 1개씩 총 5 x 1 개와 

an=3인 항 1개로 부터 생성된 주황색 노드 각 2개씩 총 1 x 2 개 


즉 5 x 1 + 1 x 2= 7 개가 되겠네요. 



☆ an=8인 경우 ☆


기존 an=7인 7 개의 노드가 파란색 노드 하나씩을 생성해서 7 x 1 개

그리고 an=4인 노드 1개가 주황색 노드 2개씩을 생성해 총 1 x 2개


총합 9 개구요. 



☆ an=9 인 경우 ☆ 


an=8인 노드 9 개가 1개씩 생성하는 파란 노드 9개와

an=5인 노드 3 개가 각각 2개씩 생성하는 주황 노드 3 x 2 =6개


총 15개




☆ an=10인 경우 ☆


an=9인 노드 15개 * 1개 = 15

an=6인 노드 5개 * 2개 = 10 


그래서 총 25개가 됩니다. 




즉 a1로부터 파생되는 항은 총 25개가 되겠네요. 




자자 근데 아직 끝난 게 아니죠. 


a3=4로부터 파생되는 항들도 세야 합니다.


근데요, 이건 또 직접 안 해도 됩니다.


생각해 보세요.


a1에서 6칸 옮긴 an=7의 개수가 7개잖아요.


a3=4에서 an=10이 되려면 7칸 옮겨야 합니다.


그러면 1개에서 출발해 7칸 옮기는 구조는 똑같으니까, 마찬가지로 7개가 나오겠죠.



대충 이런 느낌으로 진행되겠죠


여튼 그래서 더 나열해볼 필요도 없이 7개고 답은 25+7 =32 가 됩니다 







이런 과정 속에서 자연스럽게 다음과 같은 식을 발견하는 거죠 


ak=m인 k의 개수를 f(m)이라 할 때 


f(m)=2 x f(m-4) + f(m-1) 이다.


근데 이런 식이 중요한 게 아니라요, 이걸 떠올리게 되는 과정이 중요합니다 



이 식을 발견하는 데에는 

어떤 천재적인, 수학 십곳들만 할 수 있는 발상이 아니라 


1) 수열의 귀납적 정의에서 오는 자연스러운 나열

2) 묻는 값에 근거하여 규칙을 보겠다는 마음가짐

3) 모르겠을 때 예시를 들어본다는 선택을 하는 것


이렇게 3개가 필요했던 거죠. 



그리고 이렇게 풀면 

확통스럽다는 생각도 거의 못합니다 


ak=100인 k 개수 구하라고 해도 쉽게 구할 수 있구요

(같포순으로 구하는 풀이는 확통지식이 좀 많이 관여되는 데다가
ak=14 구하라고만 했어도 매우 고난스러운 과정을 거쳐야함
출제자의 호의로 열어둔 풀이라 볼 수 있음. 물론 전 NOT BAD라 보긴 하지만 어쨌든 그렇다는 것.) 

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격차 김윤성 [1077248]

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