수특 미적 step3 풀이(1) -12p
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정병훈 쌤이 미적 수특 풀이를 하기 전에...!
일단 내 풀이를 써보고 정병훈 쌤과 비교해보고 싶어서 나도 깨작여본다. 어떻게든 빨리 푸려 발악하며 쓴 풀이니 걍 애쓴다 ㅋㅋ 하면서 보길 바란다.
1. 두 양의 상수 a,b와 자연수 n에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)를
f(x)=x3+anx2−bnx
라 하자. 곡선 y=f(x)는 x=an일 때 x축과 만나고, 함수 f(x)는 x=βn에서 극소이다.
limn→∞an=24
일 때,
limn→∞βn = ?
풀이 :
양변을 n으로 나누면
f(x)/n = x3/n + ax2 - bx
이다. 우변의 함수의 근과 극소값은 f(x)과 같을 것이다.
n이 무한대로 갈 때, 삼차항은 0으로 가기 때문에 무시해줘도 된다.
이차함수의 대칭성에 따르면 한 근이 0이고 나머지 한 근이 24로 수렴하기에 극솟값은 12로 수렴할 것이다.
답 : 12
(이외에 신경써야 할 점은 많지만 굳이 적지는 않았다.)
2. 자연수 n에 대하여 곡선 y = x2−4nx+4n2 위의 점 (n,n2)에서의 접선을 l이라 하자. 직선 l이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, AC = BC가 되도록 x축 위의 점 C를 잡는다. 점 C의 x좌표를 an, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 Rn이라 할 때, limn->무한!Rn/an = ?
풀이 :
l : y = (-2n)x + 3n2
A(3n/2, 0) , B(0,3n^2)
C의 x좌표를 a라고 한다면, AC의 길이는 a+2n이며 문제 조건에 따라 BC도 같을 것이다.
삼각형 BOC에서 BO가 3n^2이기 때문에
-a+2n > 3n^2
a는 어쨌든 n에 대한 식에서 최고차수가 2차 이상일 것이다.
삼각형 ABC에서, AC = BC인 이등변삼각형이며 밑변 AB는 어쨌든 3차를 못 넘기 때문에,
일반식인
R = s^2 / 뤁(4s^2 - b^2) -> 여기서 s는 이등변의 길이 b는 밑변이다. R = abc/4s 에서 유도된다.
가 무한대로 갈 때 Rn ~ |an|/2이 된다.
답 : R/a = -1/2
(각 BAC를 d라 두고 sin d가 1로 간다..를 써서 풀 수도 있다.)
3. 이건 ㄹㅇ 쓰기 개귀찮 그냥 하라는 대로~ 하다보면 되긴 한다.
풀이 : 그냥 꿀팁인데, (a+1/4)^2n 을 {(a+1/4)^2}^n으로 한 다음 나눠서 한 놈 취급을 해주면 치역이
1/(a+1/4) , a+1 , (2-a)/(a+ 1/4) 이렇게 3개가 나오고, 그게 13/10이다 해서 조건에 역으로 끼워맞추면 그나마 별 생각없이 풀어도 풀린다.
a = -1/4일 때는 어차피 안되니까.
미적분 수능특강 202
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