뽀대 하나는 확실한 경우의 수 풀이 (예제 2개 포함)
게시글 주소: https://orbi.kr/00077717201
들어가기에 앞서, 필자는 확통은 재미로만 일부 공부했고 수능과 내신에도 선택안했기에 이러한 내용이 확통에 있는지 없는지 모른다. 다만 경우의 수 문제들을 풀면서 재밌는 풀이를 찾아서 끄적여본다.
(실용성 없고 개억지인 거 알고 있으니까 재미로만 보셈 본인 수학 개허수임)
다항식 Q(x)를 생각해보자.
Q(x)는 우리가 숫자 하나를 뽑을 때, 발생하는 상황을 하나의 다항식 항(a*xn)으로 나타낸 것이다.(머리 속에 그려지나용) 이 때 지수 n은 내가 뽑은 숫자이며, 계수 a는 그 수가 나올 수 있는 경우의 수이다.
그렇다면 (Q(x))^z를 생각해보자. 다항식이 곱해졌으니 지수 법칙(x^a * x^b = x^(a+b))에 의해 각 항들이 알아서 더해질 것이다. 그러니까 단순하게 다항식만 전개하면 합의 분포가 나오는 것이다!
조금 머릴 굴려보면 z는 뽑는 횟수이고, 다항식의 곱셈은 연속적인 선택이라는 생각이 든다.
1. 서로 다른 주사위 3개를 굴려 합이 7이 나올 경우의 수를 구하시오.(서다주3 ㄷㄷ)
풀이 :
쒀론:
먼저, 이 문제는 미적분 쪽 개념도 약간 필요하다. 간단해서 딱히 비중을 차지하지는 않는다.
뽄론:
문항에 따르면 각 항의 지수가 주사위에서 나올 수 있는 숫자(1~6)이고, 각각 경우의 수는 1개일 것이다.
Q(x) = x+x2+x3+x4+x5+x6
서다주 3개니까 총 3번 던진걸로 생각을 해보면, (Q(x))^3이 문제의 답을 구할 수 있는 다항식이라는 것이 자명하다.
(Q(x))^3의 x7의 계수가 정답인 것을 구했다! 그럼 이제 다 전개해서 풀면 끝이다!
만약 그런다면 직접 노가다하는 게 더 빠르겠다.
그런데 제목에서 미적분 개념이 쓰인다고 하지 않았는가? 단지 어그로였을까?
여기서 미적분 개념과 등비수열의 합 공식이 한 스푼 들어간다.
Q(x)는 초항이 x고 공비도 x인 등비수열을 제6항까지 더한 것으로 볼 수 있다.
(Q(x))^3 = {x(1-x^6)/(1-x)}^3...이다.
x^3을 일단 빼내면 나머지 괄호에서 x^4이 나와야만 할 것 같다.
그런데 1-x6에서 x6이 들어가면 벌써 x4를 초과하므로, 1만 고려해줘야한다.
1/(1-x)의 세제곱에서 x^4를 빼내야 한다. 도무지 안 보이고 말도 안 되는 것 같다.
여기서 미적분 개념이 쓰인다.
1/(1-x)가 무한급수라서, 1+x+x^2+....이다.
즉 1+x+x^2+....의 세제곱에서 x^4을 빼내야하는데, 위에서 언급한 다항식과 경우의 수의 관점에서 바라본다면
x^4의 계수는 3H4라는 것을 이끌어낼 수 있다.
답 : 3H4 = 15
2. 집합 X = {1,2,3,4}에서
집합 y = {1,2,3,5,6,7}로의 함수 중에서
f(1)+f(2)+f(3)-f(4) = 4m (m은 정수)를 만족시키는 f의 개수를 구하시오.
이 문제도 앞서 언급한 방법으로 풀면 도움이 된다고 말할 수는 없지만 뽀대가 난다.
문제에서 우리가 숫자 하나를 뽑을 때, 중요한 것은 그 숫자를 4로 나눈 나머지가 무엇인가..이다.
공역의 원소들이 1,2,3,5,6,7은 각각 4의 나머지로 분류하면
나머지 1,2,3이 경우의 수가 각각 2개 씩나온다.
즉 Q(x) = 2x + 2x^2 +2x^3으로 생각해볼 수 있다.
문제의 조건은 f(1)+f(2)+f(3)-f(4) = 4m, 즉 나머지가 0이라는 소리다.
나머지는 다 더하기지만 f(4)는 빼기이다. 지수에서 뺀다는 것은?
x^(-f(4))를 곱한다는 것과 같다!
즉 문제에서 우리가 찾을 수 있는 조합의 분포는 (Q(x))^3 * Q(x^-1) -> p(x)라고 치겠다. 으로 나타낼 수 있다.
이제 이 식들을 다 전개해서 x^0 , x^4, x^-4 같이 지수가 4의 배수인 항들의 계수만 다 더하면 그게 정답이다.
여기서 또 이상한 테크닉?이 들어가는데, 다항식에서 지수가 4의 배수인 계수들만 쏙 뽑아내는 마법공식이다.
바로 복소수 i를 사용하는 것이다!
바로 답부터 말하자면, P(1) + P(i) + P(-1) + P(-i)를 4로 나눈 값이 정답이다.
왜?
i의 n제곱은 n이 4의 배수일 때만 1이 되고, 나머지는 i,-1,-i로 변하면서 "상쇄"되어 사라지기 때문이다.
여기서 주의해야 할 점이 있다.
우리는 x값으로 1, i, -1, -i만 대입할 것이다. 이 숫자들은 전부 다 x^4 = 1을 만족한다.
x^4 = 1이라면, x^-1은 x^3과 같고, x^-3은 x^1과 같다.
그렇다면 직접 대입해본다면, Q(x-1 ) = Q(x)를 만족하게 된다. 그래서 계산 편의 상 P(x) = Q(x)^4로 두고 풀어도 된다.
만약 그렇지 않다면, Q(x)^3 * Q(x^-1)를 계산해야 한다.
문제에서 기가 막히는 대칭성을 제공해준 덕분에, 계산이 편리해진 셈이다.
최종 계산이다. P(1) + P(i) + P(-1) + P(-i)를 4로 나눈 값이 정답이라고 앞서 말했으니,
Q(1) = 6 -> 64 = 1296
Q(i) = -2 -> 16
Q(-1) = -2 -> 16
Q(-i) = -2 -> 16
1344/4 = 366이 답이 된다.
풀이3줄정리
1. 공역의 나머지들의 구성을 다항식으로 바꾼 뒤
2. 조건식을 지수법칙으로 연결
3. 복소수의 주기성을 이용해 4의 배수항만 필터링
마치며
이 풀이방식은 합이 n의 배수가 되는 경우의 수를 묻는 모든 문제에 적용할 수 있긴 하다. 쓸모가 있나? 모르겠다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
반수생 계획 어떤가욥 0 0
걍 저 혼자 보는용으로 러프하게 적은거 올린거라 말투는 좀 이해해주세여... 작수...
-
너를 향해 기운 우산이 0 0
이렇게 때마침 참 작아서 다행이야
-
저번처럼 11시에 해주지....
-
그냥 월드컵 저녁에 했으면 0 0
차라리 좋았을거같은데
-
미적 옛날 수완문젠데 1 0
문제 ㄱㅊ은 듯
-
08이 최악의세대인 이유 1 0
그건바로 수능이 약 160일 남은시점에 월드컵이 시작됐기때문ㅇㅇ
-
N티켓vs수특 0 0
뭐부터 푸는게 좋을까요??
-
티내라는 의견이 많네요 0 0
여러분의 조언 감사합니다 사랑합니다
-
똥 3 0
똥
-
난 잔다 1 0
다들 잘 자
-
6모 언매 92 확통 76 영어2 동사50 세사 46 나왔습니다.. 9월까지 올1...
-
이투스 광주 기숙 or 남안성에듀 다녀보신 분 있으신가용.. 0 0
패드가 셀룰러모델인데 반입안되려나요.. ㅠㅠ? 이투스) 메디컬반은 아닌데 입소 시...
-
스블 필노사서 3 0
모든것을 빼앗아가겠노라 범바오 내개오라
-
뭐 극상위권 대학은 아니고 공부를 엄청 잘 했던 건 아니지만 그래도 교육과정 보는...
-
나란 사람은, 나 같은 사람은, 안 되는 건가요?
-
연전전을 가고싶구나 2 0
보내줘
-
토푸리아 기권패하고 나가는게 내가 수능 탈주하는 집가는 모습 오버랩되고 게이치...
-
광년<-이거 개소리인게 0 0
당사자인 빛에게는 공간과 시간 모두 0임
-
내가 너보다 1 0
더 오래 좋아했는데.
-
국어 컨텐츠 추천 0 0
결격사유 휴강 기간동안 따로 공부 할거 추천해 주십쇼. 현재 재종 다니면서 학원...
-
대학 미적 벼락치기법 13 0
기출문제를 구한다 풀줄 모르기때문에 ai를 돌린다 그럼 얘가 친절하게 알려줌 이...
-
연물리 가고싶은데 6 0
아무래도 과탐가산을 고려하면 투과탐을 해야겠지
-
두서없이쓰는연애상담 13 0
같은 과 사람을 좋아해버리게 되었는데 대쉬를 해야 할지 말지를 모르겠음 좋아한다는...
-
할미가 됬다 미야오 미야오 0 0
할미가 됬다 미야오 미야오
-
소신발언 롤 재밌는지 모르겠음 2 0
애들이랑 PC방 갔을 때 친구 계정 빌려서 해봤는데 영...
-
개인적으로 이노래좋은듯 0 0
빅뱅영향을 많이받아서 그런지 이런팬송 좋음
-
연애상담도 되나요 여기? 8 1
저 너무 받고 싶어요
-
노래 찾음 2 0
Sondia-어른 드디어 찾았다. 내가 이걸 찾으려고 노래 백개 넘게 들었음
-
오붕아오늘하루는후회없이살았니? 7 1
일단나는망한듯...
-
방학때할거추천좀 7 0
쉬었음청년상태임
-
옥x몽 시리즈들 재밌음 1 0
옥린몽옥련몽옥루몽 등등 대학 와서 할 거 없으면한 번 읽어보셈
-
좆같은 문학 목록 2 0
화암구곡 생매고고한취향 우포늪왁새 바람이불어 숙영낭자전빨리하직 꼬깔참봉 똥칸...
-
5섶미적96점 2 0
미루고미루다가 이제풀음 악명에비해선 할만한거같긴함.. 아마 준킬러라인이 좀...
-
그니까 ktx에 무임승차하면 4 0
철도가키들이 나 잡으러 온다는거지? 본가 갈 때 딱대라 ㅋㅋ
-
고2 현역 9모 목표 4 3
6모 90 98 3 1 92 91 국어 백분 94 수학 백분 99 or 원점수...
-
나는 안당하지만 내사람들이 당하면 진짜화남
-
06) 오늘의 공부인증 5 0
순공시간 1H30M 정치학개론 5주, 6주차 복습 (v)정치학개론 10주차 노트 (v)
-
짜피 똑같은거 아님?
-
08) 오늘의 공부인증 11 7
-
임고 준비해야 하는데 2 2
오랜만에 수험판 떠올라서 와봤음 아이들에게 사랑을 줄 수 있는 교사가 될게요
-
벌써 내일이네 3 0
시간참빨리간다
-
부자가 되어보자
-
반대로 물어보자 17 0
지금부터 메디컬 무휴반하려면 뭐부터 해야함? 아직 전형도 안정했다
-
자작시 3일차) 불 꺼진 방 6 1
불 꺼진 방에 내일이 먼저 왔다. 나는 아직 어제인데.
-
나도 이제 잘까 0 0
다들 자러 갔나보네심심해죽겠는데
-
여기서 얻을 수 있는 정보 없어 그만큼 중요한 정보라면 뉴스에 나옴 오히려 방향성에...
-
연고대 응원가 신기한 점 0 1
처음 배울 땐 허리만 아픈데한 학기만 다녀도 다 암기됨 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
아이디어 회독할때 0 1
필기해둔거로 스포당하기 싫은데 복습용교재 스캔해서 그걸로 회독할까여
-
수험생활은 열심히 안 해도 됨 0 0
열심히 하면 지쳐 그냥 하루하루 하는거임
-
6모 원점수가 0 0
화작 97점 기하 81점 영어 2등급 한국사 4등급 생윤 50점 사문 37점 이렇게...
확통의 신 ㄷㄷ
라기엔..재미로만 공부...
뛰어난 발상이네요.더 나아가서 중복조합 수열의 generating function을 0 근방에서 maclaurin series로 근사전개한 후 이항정리로 계수를 추출하는 방법도 생각해볼 수 있죠. 교육청 30번 중에 이거 한방으로 뚫리는 것도 있더라구요
좋게 봐주셔서 감사합니다! 헉 이산 수학을 공부해본 적이 있으신가 보군용 메클로린 급수... 저 풀이를 배우려고 아등바등할 때 테일러 급수 테일러 전개랑 같이 딸려있었던 것 같은 기억이 나네요! 재밌어보여요 아직 본글의 풀이도 제대로 마스터를 못했지만 한번 수능 공부하면서 지루할 때 그것도 한번 배워봐야겠어요