러셀의 역설 해결함
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자기자신을 원소로 포함하지 않는 집합을 포함하는 집합
이게 모순이란건데,
∈ 대신 ⊆를 쓰면 해결됨
u ⊆ u 이기 때문에,
u ⊆ X <-> u ⊆ u
자기자신을 부분집합으로 포함하는 집합을 부분집합으로 포함하는집합
X ⊆ X <-> X ⊆ X
가 되어서 모순이 없어짐
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집합론의 공리상 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 말씀하신 대로라면 '자기 자신을 부분집합으로 갖지 않는 집합 u를 부분집합으로 하는 X'는 공집합일 것입니다.
자기자신을 부분집합으로 갖지않는 집합이란말 자체가 틀린거아닌가요?
네, 그런 집합이 존재하기 때문에 X는 공집합이 되고 러셀의 역설을 해결하지 못하게 됩니다.
자기자신을 부분집합으로 갖지않는 집합이 왜 존재하는거죠?
모든집합은 자기자신을 부분집합으로 가지는거 아닌가요
댓을 잘못 적었군요,,,,,
자기 자신을 부분집합으로 갖지 않는 집합이 없기 때문에 X은 공집합이 되지요
u ⊆ X <-> u ⊄ u
에서 우변이 거짓, 따라서 좌변도 거짓이어야함
u는 존재하지 않으므로, 존재하지않는 u가 X의 부분집합일수 없음
따라서
거짓 <-> 거짓 양변의 진리치가 같아서 동치다.
라고하면 안되나요?
양변의 진리치가 같다고 해서 둘이 동치라고 할 수는 없기 때문에...
동치라는게 진리치가 같다는말 아닌가요?
찾아보니 논리적 동치라는 게 있더군요. 사실 제가 논리학을 제대로 배운 적이 없기 때문에...그 부분은 인정합니다.
다만 u ⊆ X <-> u ⊄ u 의 논리적 동치 관계가 러셀의 역설을 해결하는 방법이 되지는 못할 것으로 보입니다. 왜냐하면 여기서 u에 X를 넣으면 어차피 똑같은 모순 관계가 나오니까요...
애초에 기존 러셀의 역설의 우변, 즉
X ∉ X 이 식을 러셀이 우변에 넣은 이유는
X ∉ X 라는 관계가 가능했기 때문아닌가요?
그런데
X ⊈ X 이건 처음부터 가능하지 않잖아요
u ⊆ X <-> u ⊄ u 가 다소간에 논리적 동치로서 참이라고 생각하신다면 u에 X를 넣어도 문제 없다는 결론 또한 받아들여야 하지 않을까 싶습니다.
어쩌면 u의 성질을 가지는 것이 존재하지 않음을 알고 있음에도 u를 서술의 주체로 삼아서 서술하는 것 자체가 문제가 될 것 같기도 합니다...제가 전문가가 아니기 때문에 정확하지 않습니다.