미적분 뽀대작렬 풀이(적분인자)
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미적분 1 / 단순 식 변환 문제 / 적분인자
들어가며
미적분을 하는 사람들이라면, 가끔씩 아주 쉬워 보이는 문제에서 걸려 안 넘어갈 때가 있을 것이다.
대표적인 문제가 식을 올바르게 변형시켜 적분 후 함수의 값을 찾는 문제이다.
이런 문제에, 운이 좋다면 비실용적이지만 뽀대나는 풀이인 적분인자 풀이를 적용할 수 있다.
그러나 그런 경우라면 예제들을 많이 풀어서 문제 푸는 길을 찾는 감각을 익히는 것이 정석이자 올바른 방향이다.
어차피 그 감각이 어려운 문제를 푸는 데에 도움이 되기도 하고, 지금 설명할 이 풀이는 필자가 인생에서 문제를 풀 때 단 한 번 말고는 써본 적이 없을 정도로 쓸 수 있는 범위가 너무 좁기 때문이다.
그럼에도 이 어렵고, 복잡하고, 실용성 없는 풀이를 써보는 이유는, 결국 왜 이 풀이가 성립되는가를 생각해봤을 때, 그리고 언제 쓸 수 있는지를 생각해봤을 때 수학적 사고가 심어지지 않을까...라는 희망 때문이다.
실제로 우리가 수학이라는 과목을 배울 때 증명 과정을 공부하는 이유도 그러함 때문이 아니겠는가.
결국 과정에 담긴 의미를 이해함이 중요하다는 것.
그리고 가장 큰 이유는... 뽀대가 난다.
적분인자는, 쉽게 설명하자면 어떤 방정식이 쉽게 적분될 수 있게 곱해주는 함수이다.
다음 방정식이 우리 교육과정에서 적분인자가 그나마 실용적이게 쓰일 수 있는 형태의 식이다.
f '(x) + f (x) * p(x) = q(x)
이 꼴을 봤을 때, 양변에 무엇을 곱해야 좌변이 적분이 가능할까?
한 눈에 보이지는 않지만, 충분히 시간을 가지고 생각해본다면
저 놈을 곱해야 함을 알 수 있다.
우리는 이제 대표적인 적분인자를 구한 것이다. 어느정도 수학적 사고가 된다면 당연하다고 생각할 것이다.
그렇다면 증명과정을 거쳐보자.
f '(x) + f (x) * p(x) = q(x)
이 식에 u(x)라는 함수를 곱했을 때, 위 식이 미분이 기가 막히게 잘되어 좌변이 d/dx [u(x)f(x)]가 되었다고 생각해보자.
d/dx [u(x)f(x)] = u(x)f '(x) + u '(x)f(x)
임을 우리는 기본 상식으로 알기에,
비교한다면
u(x)f′(x)+u(x)p(x)f(x) vs u(x)f′(x)+u′(x)f(x)
일 것이다.
따라서 조건은 u′(x)=p(x)u(x) 가 되고,
u'(x)/u(x) = p(x)로 변형 후 양변을 적분해주면
ln u(x)=∫ p(x)dx
가 나온다.
따라서 u(x)는
가 나올 것이다.(사진에 dx가 빠졌다.고치기 귀찮다)
이제 적분인자 u(x)를 곱하면 d/dx [u(x)f(x)] = u(x)q(x) 꼴로 바뀌고, 양변을 적분하면 해를 구할 수 있게 된다.
예제1) 개인적으로는 내가 풀었던 문제가 퀄리티가 좋아 그걸 쓰고 싶었으나 원작자가 있는 문제라 기분 나빠할까..두려워 자작문제들로 대체한다. 오르비에 깨짝거리는 하꼬 글을 누가 관심이나 가지겠나마는..
x>0 , f '(x) + (2/x) * f(x) = 1 , f(1) = 0
f(2)의 값을 구하시오.
풀이 :
여기서는 p(x)가 2/x 라는 것을 알 수가 있다. 그렇다면 u(x)는 x^2이라는 것은 암산으로도 가능할 것이다.
따라서 양변에 x^2을 곱한 다음 적분하면 f(x)가 나온다.
x^2 * f'(x) + 2x * f(x) = x^2
(좌변이 곱미분한 형태라는 것은 당연히 보일테고, 보이지 않았더라도 증명과정을 생각하면 풀린다.)
x^2 * f(x) = x^3 / 3 + C
f(1) = 1/3 + C = 0
f(2) = 2/3 - 1/12 = 7/12
예제2)
x>0에서 정의된 함수 f(x)에 대하여
3f(x) + xf′(x) = 4lnx + 2 , f(1)=5
일 때, f(e)의 값을 구하시오
풀이 :
이 예제는 식을 표준형으로 변형해야 한다. 양변을 x로 나눠준다면 앞서 언급한 형태의 식으로 변한다.
(쭉 풀이 식을 나열을 했는데 보기 조금 난해하다. 양해..)
f '(x) + 3/x f(x) = (4ln x + 2) / x
p(x) = 3/x <- p(x) 구하고
u(x) = e ^ (∫ 3x dx) = e ^ (3lnx)= x^3 <- 적분인자 구하고
d/dx [x^3 f(x)] = x^2 * (4lnx+2) <- 적분인자 곱하고
x^3 * f(x) = ∫ x^2 * (4lnx+2)dx <- 양변 적분
∫4(x^2) * ln x dx = 2(x^3)ln x−(2/3) * x^3 <- 우변 정리
∫2(x^2)dx=2/3x3 <- 우변 정리
따라서
f(x) = 2ln x + C/x^3
초기조건 활용 f(1) = C = 5
f(e) = 2 + 5 / e^3
마치며
사실 두 예제 전부 어느정도의 직관만 있다면 바로 뭘 곱해야 하는 지 보이는 문제다.
그러나 뽀대가 나고, 만약 내신에 저런 문제가 나온다면 안 보였을 때 멘탈 터짐 방어 정도는 할 수 있지 않을까.
참고로 서술형에서 저걸 풀이과정에 쓰면 까일수도 있다.. 결과만 쓰면(양변에 뭘 곱해야 하는지만 쓰면) 알빠노다.
네웹 뽀대작렬 재밌다... 수험생이 아니라면 함 봐보는 걸 추천한다. .그렇다. 태그를 실수로 안달아서 수정하려는데 동일한 내용으로 수정이 안된다길래 낙서해봤다.
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