261121 초보자 가이드

오르비언들 다 수학 고수지만 초보자 가이드 느낌으로 친절한 미안사가 써드립니다.

대단히 친절하게 써놔서 약간 귀찮을 수도 잇음

1. g(x)

일단 (가), (나) 조건을 제대로 해석하기 위해선, g(x)가 어떻게 정의된 함수(f를 통해)인지 분명히 이해하고 가야한다.

근데 이 문제는 별게 없다.

g(x)는 f(t)=0인 t에 대해, t보다 작은 곳에선 f를 뒤집은 함수이다.

2. 조건해석

(가) 조건에서 g(0)=g(2)=0 (f(0)=f(2)=0)임을 알 수 있다. 

여기서, f(x)가 0과 2를 지나는 함수라는걸 체크하고 들어가자, 나중 가서 괜히 많은 케이스를 생각하며, 벽에 막히면 안 된다. f(x)로 가능한 케이스는 이미 상당히 많이 없어졋다.

이제 자연수 m에 대해,

라는 식의 부호를 해석하는게 목표임을 알 수 있다.

함수의 극한에서는, 분모 분자의 차수(딴 얘기가 아니라 0이 몇개인지)를 먼저 알고 극한 값을 계산해야한다.

 이 또한 이 문제에서는 할 게 거의 없다.

저 이유때문에 x(x-2)에서 m이 2인 경우와 그렇지 않은 경우,

그리고 부호를 해석해야하기 때문에 m이 1인 경우와 그렇지 않은 경우가 나뉘어진다 보면 된다.

이렇게까지 설명할건 없는데, m의 케이스를 왜 1,2,그외로 나눠서 저 식을 해석해야하는지 길게 설명해봣다.

사실 어느정도 경험이 쌓이면 당연히 그렇게 해야함이 보일 것이다.

이제 저 식이 음수가 되는 조건을 알아보면,

m=1, g(m) > 0
m=2, g'(m+) < 0
(이 또한 풀어서 써드리자면, g'(m)=0, 즉, g(x)의 m에서의 차수가 2 이상이면, 딱 봐도 안 되고, g(x)의 m에서의 차수가 1차이면 1/x*g(x)/(x-2) = 1/2*g'(m+)으로 수렴함을 알 수 있슴)

m=3, g(m) < 0 

임을 알 수 있다.

3. f(x) 찾기

이렇게, 어떤 상황이 입력되는지에 따라 조건이 어떻게 출력되는지를 완벽히 확인한 뒤, 함수 추론에 들어가도록 하자.
((나)조건의 집합을 A라 하겠다.)

함수를 추론할 때는 되는 케이스를 찾기보다 안 되는 케이스를 모두 거르는 방법으로 가야한다.

(이런 것들을 머릿속에 무슨 주기도문처럼 외워놓고, 문제 하나하나를 푸는게 아니다. 문제를 풀면서, 이런 것들을 떠올릴 수 있으면 된다.)

우선 A집합에는 1은 포함될 수 없음을 확인하고 가자.
(-7/2*g(1)이 A집합의 원소이므로 g(1) < 0이다.)

이제부터는 그래프를 이용해 함수를 찾아내보자.

(그래프로 해석해서 안 되는 케이스는 바로 걸러내는 연습을 하자.
수2 실력이 는다는 말은 그래프로 해석할 수 있는 범위가 늘어난다는 것과 거의 동치이다.)

f(x)의 실근을 0,2,p라 하자.

그림은 쩔 수 없다; x축의 색깔들만 무시하면 된다.

일단 우리는 f(x),g(x)가 어떻게 결정되든, f(x)의 가장 큰 근 초과의 자연수들은 절대 A집합에 포함될 수 없음을 알 수 있다. (f(x)는 이 값들에서 무조건 0보다 크다.)

이는 그래프를 직접 몇개 그려봐서 확인해도 좋고,

함수 추론 실력이 쌓였다면, 이 정도는 머리로 바로 쉽게 처리될 수도 있을 것이다.

(본인에 상황에 맞추면 된다. 함수 추론 실력이 낮을 수록 그래프를 최대한 많이 그리면서 확실하게 확인하는 것을 추천한다.)

즉, 우리는 p>2임을 알 수 있다.
(p<=2이면, 2가 가장 큰 근이므로, A집합에는 3이상의 자연수 그리고 1이 포함될 수 없다. 이는 A집합의 원소가 2개인 것에 모순이다.)

자, 우리는 이번에도 f(x)의 안 되는 케이스들을 상당히 많이 걸러냈음을 알 수 있다.

모든 f(x)는 다음과 같이 생겼다.

(0과 2를 지나고, 2보다 큰 실근 하나를 지남)

이제 t=0 or 2 or p를 결정해야한다.

이 또한 머릿속으로 해결된다면 바로 하면 된다. 하지만,

실력이 낮다면 무조건 모든 그래프를 그리도록 하자.

수능수학에서의 시간은 그래프를 그리면서 펜을 움직이는 시간엔 생각보다 그리 많이 흐르지 않는다.
하지만 문제를 풀 때 뇌절이 오거나, 답 상황이 아닌 케이스를 답이라 생각하고 계산할 때, 굉장히 많은 시간이 흐르게 된다. 절대 이런 상황이 없도록 그래프를 다 그리며, 확실하게 되는 케이스만 남기면서 풀어야한다.

그러므로 우린 초보자 가이드니까 각각의 케이스를 모두 보도록 하자

I) t=0

g(1)이 음수임에 모순이다.

II) t=p

걍 척 봐도 A집합에 그 어떤 원소도 포함될 수 없다.

III) t=2

A집합은 2를 포함해서 2와 p사이의 자연수임을 알 수 있다. 

즉, 조건을 만족하려면 A집합 = {2,3}이여야 하고, 3<p≤4임을 알 수 있다.

4. 계산

이제 계산을 하면 된다. 그래프를 식으로 옮겨 계산할 때는, 그래프로 표현되는 모든 상황이 식으로 표현되는지 꼭 확인하도록 하자.

여기서는 다음과 같이 쓰면 되겠다.

qx(x-2)(x-p) with q>0, 3<p≤4

이제 {2,3}=A집합={3q(p+1),7/2*q(p-1)}

이다. 2가지 케이스에서 하나는 써놓은 p의 범위를 벗어나서, 탈락하고 케이스는 결정된다.
(이래서 식으로 쓸 때 모든 상황을 표현해야한다. p의 범위를 표현하지 않고 식으로 옮겻다가 또 괜히 뇌절 오면 시간 다 간다.)