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미안사 [1447146] · MS 2026 (수정됨) · 쪽지

2026-02-18 14:00:04
조회수 1,208

양함수 표현에 대해

게시글 주소: https://orbi.kr/00077627623

합성함수나 음함수로 표현된 식이 있을 때


f(x)=뭐 하고 깔끔하게 정리해야


f(x)에 대한 여러가지 성질, (뭐 연속, 아님 뭐 미분가능성, 최대최소 이런 것들)을 해석할 수 있다는 거임뇨.


그래서 항상 양함수로 표현 가능한지 '선제적으로' 알아보는게 중요하고,


그게 안 되는 상황에선 역함수 등을 이용하는거임


그래서 미적을 안하면 생소할꺼지만, 미적을 골랐는데 모르는건 진짜 문제가 있음



f^-1(x)에 대한 함수 조건들을 해석해야한다.


f^-1(x)로 정리할 수 있는지 생각해보면

(가)에서 f^-1(x)=±1/2x(x-5)

(나)에서 f^-1(x)=±e^(|x|-1)+1


로 정리됨을 알 수 있고, 이 식을 갖고 해석하면 된다.


 f(x)에 대한 함수 조건들을 해석해야한다.


f(x)를 양함수로 정리할 수 있는지 생각해보면


f(x)에 대한 5차방정식 f^5+f^3=어쩌고를 풀기 힘드므로, 다른 방법을 생각해야한다.

여기서는 역함수를 이용해서 표현 가능하다.
(x^5+x^3의 역함수를 g(x)라 하면, f(x)=g(어쩌고)




231122의 수식풀이 아이디어)

g(x)의 '최솟값'에 대한 해석을 해야한다. 따라서 g(x)를 구할 필요가 있고,

(x-1)f'(g(x))+f(1)=f(x)는 'g(x)'에 대한 이차방정식이므로, 근의 공식을 통해 g(x)를 양함수 표현할 수 있겠다.




f(x)에 대한 '연속 조건'을 해석해야하므로, f(x)로 정리할 필요가 있다.


(f^2+2f=어쩌고 << 이 상태에서 f의 연속을 조사하는건 말이 안 됨)

이 식은 f에 대한 이차방정식이므로, f를 구할 수 있겠다. 


(완전제곱식이 왠지모르게 유독 강조되는 느낌이지만, 이차방정식이 더 중요한거고 이차방정식을 알았다면, 완전제곱식으로 정리하는건 당연한 아이디어이다. (중딩때 배운 근의 공식의 아이디어))



f(t)에 대한 어떠한 '조건 해석'을 요구하고 있지 않다.


한 점에서의 '미분계수' 값만을 요구하고 있기에, 그냥 계산하면 된다.



물론 이 문제는 f(t)를 양함수로 표현해 계산하는 것도 가능하다.

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