증명좀부탁드려요

Question

이차이상의다항식 f(x)가 (x-a)^2로 나눌 때 나머지는 f'(a)(x-a)+f(a)이다. 

이게 어떻게 성립되나요?

답변 주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ

Yoonaul · Accepted Answer

f(x)=(x-a)^2Q(x) + mx + n

f'(a)= m

f(a)=am + n

그러므로, 나머지는 mx+n이니까
정리하시면 나오겠네요.

얼짱연대생 · Answer

f'(a)(x-a)+f(a) 는 x=a 에서 직선의 방정식인데 ..흠 무슨의미가있는지 아시는분?

Geer · Answer

나머지정리에 의해
f(x)=(x-a)^2Q(x) + R(x) 라고 할수 있는데요
이차식으로 나눈 나머지 R(x)는 1차 이하의 식어야 합니다.
따라서 R(x)=mx + n 이라고 놓을 수 있죠. m은 직선의 기울기, n 은 y-절편 입니다,
f(x)=(x-a)^2Q(x) + mx + n
이는 항등식이므로 x=a인 점에서 함수값은 f(a)= ma + n 임을 알 수 있습니다.
이번에는 f(x)를 미분해보면
f ' (x)=2(x-a)Q(x) +(x-a)^2Q ' (x) //여기까진 곱셈미분법공식// + m //이건 나머지R(X)를 미분한 결과//
이 도함수에 x=a를 대입하면 
f ' (a)=m  
x=a인 점에서 접선의 기울기는 m=f ' (a)

이제 n 을 구하려면? 
f(a)= ma + n
이식을 다시 써봅시다
f(a)= f ' (a)a + n
n= f(a) - f ' (a)a

결국 m 과 n 을 구했고 그 나머지 R(X)란 놈이 f'(a)(x-a)+f(a)이네요
이놈이 의미하는건 원래함수 f(x)에 대해 x=a인 점에서의 접선의 방정식인데요.

이식이 의미하는바는 제생각입니다만
나머지정리란게 목적이 인수분해입니다.
인수분해가 가능하려면?? 나머지가 0이여야 합니다.
그런데 f(x) 이놈은 이차 이상의 다항식입니다. 즉 인수분해하기가 까다로운 놈이죠.
인간들은 이놈을 인수분해하기 위해 노력을 했고 그 결과 깨달은바는 차수를 낮추면 인수분해하기 쉽겠네입니다.
차수를 낮춘다? ----> 미분법의 탄생 이라고 할수 있죠.
f(x)를 미분하자 x->a일때로!!
근데 f(x)는 99차라면? 미분을 한번해갔고는 그래도 98차이니 여전히 복잡해!!!
그럼 미분은 얼마나 하란거야????
아 적어도  2번은 해야되는구나!!! 
이게 (x-a)^2가 의미하는 바입니다.
미분하면 죽는 의미없는 녀석이란게 증명과정에서 밝혀졌으므로
(x-a)의 3제곱이던 50011제곱이던 상관없이 한번만 미분하면 죽을놈이군요.
미분하면 얻는 녀석은 무엇인가? 아 접선의 기울기로구나!!이걸 미분계수라고 부르자
이게 위 식이 의미하는 바입니다.
우리가 저걸 배우는 이유는 미적분 배울때 도함수 다음에 배우는게 접선의 방정식이기 때문입니다.

Geer · Answer

복잡하게 설명했지만 결과는 접선의 방정식이 어떻게 탄생하였나입니다.
나머지정리 
고1때 배운 나머지정리를 이제 배운 미분법을 통해 미분해보면 접선의 방정식이 나온다는걸 알았습니다.
접선의 방정식을 고2때는 접선의 기울기가 주어진 문제만 접했지만
이제는 미분법을 알았으니 어떤 다항식(이차이상의다항식)이 주어져도 접선의 방정식을 구해주마!!! 인 상태로 업그레이드 될겁니다.

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