[수학칼럼] 음함수 미분
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안녕하세요 저능부엉이입니다
오늘은 음함수 미분에 대해 공부해고자 합니다
사실 전에도 같은 내용으로
칼럼을 올렸지만 블라인드를 당했기에
좀 더 내용 보충해서 올리게 됐습니다
음함수 미분에서 강조할 점은
변수간의 관계 파악
만이 있습니다
이게 무슨 말이냐면
241127입니다
이문제에서 주어진 데로 먼저 식을 세워봅시다
여기서 k는 접점의 좌표입니다
그럼 k에 대해 생각을 해봅시다
k는 t의 따라서 값이 달라집니다
한마디로 k는 t에 대한 함수라고 볼 수 있는것입니다
그렇다면 이런식으로 둘 수 있겠네요
k를 g(t)로 둔 것입니다
이후 식을 나눠봅시다
이렇게 두 개의 식이 나왔습니다
여기서 주목할 점은 f(t)값을 구하기 위해서는 g'(t)값이
필요한 상황이고 문제에서 t와 g(t)값은 주었습니다
(f(a)=-e^3/2에서 그 시점의 t값과 g(t)값 구할 수 있음)
따라서 g'(t)값을 구하기 위해 왼쪽 식을 미분하고
값을 구한후 대입만 하면 답이 나오게 됩니다
이 문제에서 보여드렸듯이 음함수 미분 문제에서는
만약 f'(t)에 값을 구하라고 하면
1.t에 대한 변수
2.구하고자하는 함수에 관한 식
3.t와 변수의 관계식
4.정답상황에서의 t와 변수의 값 정보
가 주어지게 됩니다
보통은 문제가
1.t에 대한 변수 설정하기
(앞의 문제에서는 변수가접점이있음)
2.구하고자하는 함수에 관한식 세우기
3.t와 변수의 관계식 세우기
4.정답상황에서의 t와 변수 값 정보를 식에 넣어서 얻기
5.미분, 대입
의 방식으로 문제가 풀리게 됩니다
다른 문제로도 보여드리자면
240930입니다
아까 말했던 대로 먼저 세타에 대한 변수로 선분CP을
k(세타)로 두겠습니다
이후 k에 대한 식과 넓이에 관한 식을 뽑아 보겠습니다
이렇게 되는군
이후 두번째 식을 사용해 정답상황에서 k값을 구하면
다음과 같습니다
이후 첫째 식과 둘째 식을 미분하고 대입하면
이렇게 바로 답이 나오게 됩니다
비슷하게 230929도 풀어봅시다
먼저 s를 t에 대한 변수로 보고
s와 t에 대한식, g(t)에 대한 식을 뽑으면
최소가 될때 s에의 접선과 (t,0) 이 수직인점을 이용하면
이렇게 둘 수 있습니다
h'(1)=1/g'(h(1)), s가 0일때 g(t)가 1이기에
정답상황에서 s(t)=0, 대입하면 t=2입니다
따라서 우리는 g'(2)의 값을 구해야 합니다
이제 두 식을 미분하고 대입하면
이렇게 간단히 답이 나오게 됩니다
하나 유의할점은 s를 굳이 s(t)로 두지 않아도 됩니다
s'(t)를 ds/dt로 생각하면
이런식으로 똑같이 답이 나오게 됩니다
단지 유의할 점은 s가 t에 대해 변화하는
일종의 함수임을 명심해야하는것입니다
오늘은 음함수에 관해 알아봤습니다
앞에서 말했듯 식 두개 세우고,
변수 설정하는게 다인 유형입니다
특히 변수간의 관계가 중요하기에 앞에서같이
s를 s(t)로 두는것처럼하면 t와의 관계를 더 잘
관찰 할 수 있습니다
다들 읽어주셔서 감사하고 다음에도
좋은 칼럼으로 돌아오겠습니다
(좋아요 이건 진짜 누르지 마셈 잡담으로 올림)
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