재밌는 수학 이야기
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디오판토스 방정식은 다항방정식의 정수해를 찾는 것입니다.
예를 들어 유명한 
, 즉 피타고라스 방정식이 있죠.
그중 이변수 (x, y) 디오판토스 방정식을 보면,
차수가 1일 땐 해집합을 자명하게 구할 수 있고,
차수가 2일 땐 
꼴로 변형시킨 후 펠 방정식 기법을 쓰면 해집합을 전부 구할 수 있습니다.
한편 차수가 4 이상일 때 (+ 종수라는 것이 2 이상일 때)
(예시: 
)
는 팔팅스의 정리에 의해 해의 개수가 항상 유한 개라는 것이 증명되어 있습니다.
그러면 아직 해의 유한성, 무한성을 판정하지 못한 것은 3차의 곡선 뿐이고,
이 중 해가 있는 것들은 전부 적절한 변형을 통해
꼴로 만들 수 있습니다.
이를 그래프로 그리면 위와 같고, 모양은 타원과 관련은 없지만
타원의 둘레를 구하기 위한 적분의 역함수에서 유래됬기에 이것을 타원 곡선이라고 합니다.
아직 이에 대해선 밝혀지지 않은 것이 굉장히 많아 현대 해석적 정수론의 메인 분야 중 하나입니다.
타원 곡선의 정수해의 개수에 관한 추측이 바로 버치-스위너턴다이어 추측으로,
아실 분들은 아시겠지만 밀레니엄 7대 문제 중 하나입니다.
(관심 있으신 분들은 증명 도전 ㄱㄱ)
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예상댓글: 2
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