[수학 칼럼] 조건을 더 깊게 바라보는 발상정리집
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반갑습니다. 오랜만에 작성해보는 수학 칼럼입니다.
01. 삼차함수 개형의 형태로 추론해볼 수 있는 개형판정법
제가 전에 발견한 공식인 삼차함수 개형 판별식(D=b²-3ac)과 약간 관련이 있는(사실 다루는 주제만 관련있긴 함)
삼차함수의 또다른 개형 판별법입니다. 만약 최고차항의 계수가 1인 우상향하는 삼차함수가 있다고 쳐봅시다.
삼차함수의 세가지 개형 중에서 오직 증가만 하는 두 개형이 아닌,
극대와 극소를 갖는 삼차함수의 일반형 개형일 또다른 조건으로는 바로,
최고차항 계수가 양수일 때 f'(x)인 도함수 값 중에서 음수인 값이 단 하나라도 존재하면
그 삼차함수는 무조건 극대와 극소를 갖는 삼차함수의 일반적인 개형으로 확정됩니다.
(이는 삼차함수가 역함수를 갖지 않는 조건과도 엮어서 이해해볼 수 있습니다.)
⇒나머지 두 개형은 항상 증가하는 함수이니 역함수를 반드시 갖겠죠?
그런데 삼차함수가 역함수를 갖지 않는다고 언급한다면, 극대와 극소를 갖는 모양으로
그 개형이 반드시 확정됩니다.
반대로, 최고차항 계수가 음수일 때 f'(x)인 도함수 값 중에서 양수인 값이 단 하나라도 존재하면
그 삼차함수는 무조건 극대와 극소를 갖는 삼차함수의 일반적인 개형으로 확정됨을 알 수 있죠.
02. 동치 표현을 이용한 조건의 해석(대우 명제로 조건을 쉽게 풀어나가기)
전에 킬러 문항에서 발췌한 문제의 조건입니다. 조건 자체의 길이는
짧지만, 짧다고 만만히 보아선 안될 문제입니다.
문제에 주어진 조건이 짧고 간결하다는 것은 진짜로 문제가 간단해서 그런 것일수도 있으나,
문제에 대해 조건에서 주어진 정보 자체가 그만큼 적다고 해석할 수도 있거든요.
하지만, 고1 수학 때 명제 단원에서 배운 '대우'를 이용해본다면
해당 조건을 더 간단하게 만들 수 있는 여지가 생깁니다.
03. 분모가 0이 되는 순간도 극한값이 존재할 수 없는 상황의 후보군이 될 수 있다.
많은 기출에서 확인된 너무나 중요한 사실이죠. 분모가 0이 될 수 있는 여지가 있는 꼴로 lim 속의
함수가 정의된다면, 분모가 0이 되는 부분도 극한값이 존재하지 않게 되므로 이를 고려해주어야 합니다.
추가로, 도함수의 분모가 0이 되는 순간이라면 그 순간에선 미분불가능한 순간이 발생할 수 있겠죠.
하지만, 도함수의 분모가 0이 되어서 f(x)가 미분 불가능한 상황이 발생해도 f(x)는 그 지점에서 연속일 수 있다는 점에
주의하시길 바랍니다.
04. 불연속 점도 함수와 함께 평행이동 한다.
불연속 점이 있는 함수를 평행이동 시킨 새로운 함수를
정의했을 땐, 원래 있던 함수의 불연속 점의 좌표(위치)도 평행이동 한 만큼
함께 이동한다는 성질을 갖고 있습니다. 결국 불연속 점도 일종의 "점"이므로
점이 평행이동할 때 지니는 성질의 영향을 그대로 받게 됩니다.
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