칼럼) 수2 준킬러~킬러 톺아보기 1편

Question

안녕하십니까. 케인즈의 개구리입니다.(닉넴은 그냥 넘어갑시다) 이번에는 좀 긴 칼럼을 연재 해볼까 합니다.  쓰고자 하는 칼럼의 주제는,  "2022~2025수능 수학 수2 킬러, 준킬러 톺아보기" 입니다.  해당 주제로 칼럼을 써보게 된 배경은 다음과 같습니다. 수능이 이제 정말 코앞까지 다가오게 된 만큼, 많은 학생 분들이 실모를 풉니다. 실모는 시간 관리 및 양치기를 통한 상방 끌올 등의 효과를 주는데요,그러나 사설은 사설인 만큼   아무리 잘 만들어진 사설이라도 평가원 문제와는 조금 다른 성격을 띠는 경우가 많은 듯합니다.  사설에만 집중하다 보면, 간혹 평가원이 묻고자 하는 핵심을 놓칠 위험이 있을 수 있다고 생각하는데요. 그래서 저는 최근 평가원 기출 문제를 다시 살펴봄으로써 도움을 드림변 어떨까? 하는 생각을 하게 되었습니다.  예. 대충 이유는 이렇고,  23 6/9/11-> 24 6/9/11-> 25 6/9/11-> 22 6/ 9/11  4개년 별 순서는 대강 수능부터 6평까지 거꾸로 진행할 생각입니다. 정도로 해서 대강 5-6편 정도 연재를 해보면 어떨까 합니다...  찐으로 시작하겠습니다...  23수능입니다. 살펴볼 문항은 12, 14, 22입니다.   와...요즘 생각하면 12번 치고는 난이도가 개 높은 거 같습니다. 일단 해당 문항에서 짚고 넘어갈 점은  "도함수의 정적분값(넓이)는 원함수의 함숫값 차(길이)이다" 입니다. 해당 문제는 거리, 속도, 가속도 합답형 문제로 나오면 정말 좋겠다는 생각을 합니다. 요즘 준킬 초반에 수2 합답형이 나오던데, 해당 포인트를 써먹어서 낼 수도 있다고 생각합니다. 실제로 예전 평가원에서도 그런 전적이 있구요.  우선은 박스 조건을 봅시다. f(x)의 절댓값을 씌우니,   이런 꼴이네요. 그럼 g(x)를 살펴봐야 합니다. 대충 봐서는 모르겠습니다. 일단 최소가 x=1/2 에서 0이라고 하니, 일단 g(x)의 개형을 파악하는 게 맞겠습니다.  그럼 g(x)어느 지점에서 '증가', '감소'하는 지에 따라 그 개형이 달라질듯 합니다. 그럼 미분 해봅시다.    그럼 지금 앞에서 말한 포인트를 여기서 떠올려 봅시다.  "도함수의 넓이는 원함수의 함수 차이다."  넓이가 양수이면 함수는 증가합니다. (이거 모르면 수능치지 않으시는 게 맞습니다. 교과서에 증감표를 왜 넣었는지를 생각해보세요)  그럼 f에 따라 g가 어떻게 되는 지 예를 통해 알아 봅시다.  f가 실수 전체 집합에서 0보다 크다고 합시다. 그럼 계속 증가하는 꼴이겠네요 아 이런 꼴이겠네요. 그럼 다른 예를 들어서, 구간 [0, 1]에서 f가 음수이면 밑에 그림처럼 보이겠네요.   얼라리? 이러면 x=1일 때 최소가 생기네요. 그럼 개형이 어떨지는 이미 정해진 거 같습니다.   그림을 보시면 알겠지만 계산은 상당히 쉽습니다. 왜냐하면 똑같은 함수를 평행이동 시켜서 동일한 부분을 이어 붙인 꼴이기에,    이고 적분값은 1임을 알 수 있겠네요.  해당 함수에서 변곡점이 x=1/2, 3/2, 5/2, 7/2이므로,   그래서 계산을 하면 1/2, 답은 3번임을 알 수 있습니다.          하고 넘어가면... 땡!!! 탈락입니다. 왜 틀린 걸까요?  그건 그냥 대충 그림만 그리고 문제를 꼼꼼하게 안 살펴봐서 그렇습니다.    이라는 조건을 생각하면, 구간 [0,2]에서의 정적분 값과 [2, 4]에서의 정적분 값이 동일해야 하므로,  구간 [0,1]에서는 f가 양수, 구간 [2,4]에서는 f가 음수여야 합니다. 그래서 올바른 개형은   이고, 답은 아까 전처럼 생각을 해보면, -1/2, 2번임을 알 수 있습니다. 수능날 이런 실수는 해놓고도 맞다고 생각해서 안 보고 넘어갈 수도 있습니다... 주의해 놓으면 좋을 듯 합니다...    와캬퍄!!! 와 전설의 오답률 12.6프로 문제입니다. 푸는 게 찍는 것만도 못한 그런 난이도의 문제죠... 엄밀하게 따지면 사실 풀이가 애매하긴 한데, 사실 교과서 내용을 잘 숙지했으면 확인도 안 하고 답을 맞출 수도 있습니다.(그..화내지 마시고 끝까지 들어주세요...)  사실 수학 전공자도 아니고(문과입니다) 선형대수와 기초통계론을 듣고 '아 대학 수학은 ㅈㄴ 어렵구나'를 통감한 사람으로, 이 문제를 풀기 위해서는 그리 어려운 방법은 필요가 없다고 생각합니다... (대학 수학 1도 모르는 나같은 거도 푸는데...굳이 대학 수능을 꺼내와야 할 필요가 있을까...)  간혹 엡실론-델타를 써야 엄밀하게 풀리지 않느냐? (막상 저런 말하시는 분들께 그게 뭐냐고 여쭤보니 잘 모르시던...) 하시는 분들이 있는데, 일단 수능이라는 시험에 나오는 문제고, 정상적으로 중등교육을 이수한 중졸들이 보는 시험인지라 교과 과정 내에서 알맞게 풀 수 있는 풀이는 존재한다고 생각합니다... 물론 그렇다고 해도 저런 문제는 시험에 내서는 안 된다고 생각합니다만(선지 꼬라지+모호성) 여하튼 각설하고 문제를 풀어보겠습니다.   우선, 저 빌어먹게 생긴 함수 h(x)를 찬찬히 살펴봐야 합니다.  일단,    인 것을 알 수 있습니다.  그럼, ㄱ부터 살펴봅시다.  당근빠따 ㄱ은 참임을 알 수 있습니다.  문제는 ㄴ,ㄷ인데... 우선 연속성 여부를 알기 위해서는  함수 g(x)를 구간별로 어떻게 정의되는가를 살펴볼 필요가 있습니다. 살펴보면 다음과 같은데요. 해당 함수가 실수 전체 집합에서 연속이려면,  여야 하는데, f(1)=f(-1)=1이면서 동시에 -f(1)=f(1)을 만족시키는 건 말이 안 되므로, 결론적으로 연속일 수가 없습니다. 따라서 ㄴ은 거짓입니다.  마지막 ㄷ입니다.  오르비나, 다른 블로그 해설을 찾아보고 알아보고 다닌 결과, 해설 하시는 분들이 대체로, f(x)를 상수 또는 1차함수로 명제 ㄷ의 반례를 들어서  거짓임을 증명하셨습니다. 물론 저도 그렇게 풀기는 하였습니다만... 해당 풀이를 다음과 같이 살펴보자면,  로 가정하고 문제를 풀면,   생긴 꼬라지부터가 최소가 없게 생겼으므로,  ㄷ이 거짓임을 알 수 있습니다.  제가 앞서서 엄밀하게 풀기 위해서  뭔가 교과 외의 내용을 도입할 필요는 없다고 이야기했었는데요.  그 이유는 교과서에 나온 최대 최소의 정의 때무에 그렇습니다. 사실 교과서에 나오는 정의를 잘 알고만 있어도 저런 식으로 굳이 반례를 안 들어도 문제를 당연히 거짓이라고 판단이 가능했을 것입니다.   쉽게 말해서 현재 저희가 배우는 수2 교과서에서는, 함수가 최대 최소를 가지는 조건은 닫힌 구간에서 연속이어야 한다고 이야기하고 있습니다.  "닫힌구간 내에서 함수가 연속이다->최대/최소가 존재한다."  앞서 저희는 ㄴ에서 함수 f(x)가 항상 참이 아님을 발견했습니다. 따라서 특정 닫힌 구간에서 f가 연속이 아닐 수도  있기에  그 구간에서는 최대와 최소를 가지지 않습니다. 또한 교과서에서는 닫힌구간을 전제로 연속의 정의를 다룬는데요, ㄷ의 명제에서는 '실수 전체 집합'이라는 워딩을 쓰고 있기에  이는 당연히 거짓임을 알 수 있습니다.  닫힌 구간에서 최대/최소를 논의하는 것이 아닌, 열린 구간에서 최소의 존재 유무를 따졌고, 게다가 f는 연속함수가 아니기에,  ㄷ은 당연히 항상 참이 아닐 수 밖에 없습니다.  이런 식으로 문제를 불필요한 계산 없이 거짓이라고 판단할 수 있습니다.  따라서 참인 것은 ㄱ밖에 없으므로, 정답은 1번   이 문제도 역시 22번 수2 중에서 가장 어려운 축에 드는 문제 중 하나라고 생각합니다.  기울기 함수를 통해서 f의 개형을 확정짓는 그런 문제입니다.   아마 두 가지 풀이를 크게 떠올리실 수 있을텐데,  하나는 앞서 말한 기울기 함수를 바탕으로 푸는 것이고 나머지 하나는 깡계산으로 푸는 방법입니다.  그럼 아는 맛대로 풀어봅시다.   먼저 기울기 함수 풀이입니다.   이는 g(x)가 f'(x)로 하여금 동점 (x, f(x))와 정점(1, f(1))을 지나는 직선의 기울기와 같은 값을  갖도록  하는 x값과 동일하다는 것을 의미합니다.  다시 말해서, f '(x)=(동점과 정점을 지나는 직선의 기울기) 가 자시는 실근이 g(x)임을 말합니다.  평균값 정리에 의해서 이제 g(x)가 1과 x 사이에 존재한다는 것을 알 수 있습니다.  자...대충 이런 꼴이란 걸 알 수 있겠네요. 그런데 일단 g(x)의 후보가 2개가 존재하는데,  일단 우리는 작은 것과 큰 것 중에서 큰 것이 g(x)가 되어야 함을 알 수 있습니다.  저기서 만약 작은 것이 g(x)가 된다면, g(x)의 최소가 1보다 작은 곳에서 발생하는데,  이는 조건에 모순이기 때문입니다. 생각해보세요. 평균변화율의 기울기가 만약에 f'(1)보다 큰 경우에는, g(t)가 1보다 작아짐을 알 수 있습니다.  따라서 저기 2개의 후보 중에서 큰 것이 g(x)가 되어야 함을 알 수 있습니다.    저런 식으로 t가 커짐에 따라서 g(x)역시 감소 및 증가함을 알 수 있습니다.  이때 계속해서 선을 움직이다 보면, 직선 자체가 함수에 f(x)에 접할 때,  그 접하는 부분이 5/2, g(x)의 최솟값이 됨을 알 수 있습니다. 이제 이걸 식으로 표현해봅시다.    임을 알 수 있습니다. 조건에 f(0)=-3이 있으니 이걸 대입하면 미지수 a,b의 관계식을 하나 도출이 가능합니다. g(1)을 f에 대입하면 6이라고 하였으니, g(1)의 값을 아는 게 중요합니다. "3(변곡점의 x좌표) = (세 근의 합)"인 것과  "1과 g(1)이 변곡점에 대해 대칭"임을 활용하면  x=1일 때 g(x)를 알아볼 수 있겠습니다. 따라서, 1/3(1+5/2+5/2)=1/2(g(1)+1) 이고, g(1)=3, f(3)=6  이를 대입하면 a,b에 대한 관계식이 나오네요.    이고, f(4)=13 답은 13입니다.  자 이건 유명하고 다들 익히 아는 풀이가 아닐까 합니다... 근데 저는 바보라 첨 풀 때는 아무 생각없이 깡계산으로 풀었던 거 같습니다.  그럼 개씹상남자스럽게 빠꾸없 그냥 근의 공식을 갈겨 줍시다.     아무래도 최솟값을 가져야 하니, 플마 중에서 플러스가 되어야 합니다. 마이너스가 된다면 최소가 아니라 최대를 갖게 되니까요...  앞에서 그래프로 본 두 개의 g(x) 중에 작은 것이 근의 공식을 통해 표현한 것 중에서  작은 것을 수식으로 표현한 것과 같음을 알 수 있습니다.    그럼  다음일 때 최솟값을 가짐을 알 수 있습니다. 대입을 시킨 값이 5/2임을 알 수 있습니다. 계산을 하면 a=-6이 되는 걸 알 수 있습니다.   여기에 x=1을 대입하면, g(1)=3 f(3)=6을 대입하면, f(x)의 식을 구하면 답이 그대로 나옵니다...    이상으로 일단 살펴보고자 하고자 하는 문제들은 이렇게 전부 살펴봤습니다!! 혹시 칼럼에 문제가 있거나/오류/오타 가 있으면 설명해주시면 감사하겠습니다!! 도움이 되셨다면 좋아요! 팔로우 부탁드립니다!!

음잘알희망 · Accepted Answer

어우저게계산미는거구나 231122 어렵다역시,,,,

칼럼) 수2 준킬러~킬러 톺아보기 1편

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