ai 성능(feat : gemini 2.5 pro)

출시한지 5시간된 epsilon 모의고사의 22번을

제미나이 2.5 pro에게 풀어달라함.

답 

풀이 : r값, k값 맞고 정답 맞음.

 상세 풀이가 맞는지는 "귀찮아서" 확인 안함. 틀렸으면 누가 댓글 좀 달아주삼.

문제 풀이

주어진 문제의 조건을 하나씩 분석하여 답을 찾아보겠습니다.

1. 등비수열 {a_n}의 조건 분석

등비수열 {a_n}의 첫째항을 a (자연수), 공비를 r이라 하면, a_n = ar^(n-1)입니다.

주어진 조건 |a_2| >= a_3 > 1에서

 * a_2 = ar

 * a_3 = ar^2

이므로, |ar| >= ar^2 > 1 입니다.

 * ar^2 > 1: a는 자연수이므로 a > 0이고, 따라서 r^2 > 0 즉 r != 0 입니다.

 * |ar| >= ar^2: a > 0이므로 양변을 a로 나누면 |r| >= r^2 입니다.

   * r^2 - |r| <= 0

   * |r|(|r|-1) <= 0

   * 따라서 0 <= |r| <= 1 입니다.

   * 그런데 r != 0이므로 0 < |r| <= 1 입니다.

ar^2 > 1과 |r| <= 1 (즉, r^2 <= 1)을 동시에 만족하려면, a는 1보다 큰 자연수여야 합니다 (a > 1/r^2 >= 1).

만약 |r|=1 이라면, r=1 또는 r=-1 입니다.

 * r=1 이면 a_n = a가 되고, |a| >= a > 1이므로 a > 1인 자연수입니다. 이 경우 모든 a_n >= 1이므로 b_n = 1/a_{2n} = 1/a가 됩니다. |b_n|=1이려면 1/a=1, 즉 a=1이어야 하는데, 이는 a > 1과 모순됩니다.

 * r=-1 이면 a_n = a(-1)^(n-1)이고 a > 1입니다.

   * n이 홀수일 때, a_n = a >= 1이므로 b_n = 1/a_{2n} = 1/(a(-1)^(2n-1)) = -1/a. |b_n|=1/a. |b_n|=1이려면 a=1이어야 하는데, 이는 a>1과 모순입니다.

   * n이 짝수일 때, a_n = -a < 1이므로 b_n = ka_n = -ka. |b_n|=ka. |b_n|=1이려면 ka=1이어야 하는데, k와 a는 자연수이고 a>1이므로 ka > 1이 되어 모순입니다.

따라서 0 < |r| < 1 이어야 합니다.

2. 조건 (가) 분석: |b_n| = 1

|b_n| = 1이 되는 경우는 두 가지입니다.

 * Case 1: a_n < 1일 때, b_n = ka_n이므로 |ka_n| = 1, 즉 |a_n| = 1/k

 * Case 2: a_n >= 1일 때, b_n = 1/a_{2n}이므로 |1/a_{2n}| = 1, 즉 |a_{2n}| = 1

|a_n| = a|r|^(n-1)은 n에 대해 감소하는 수열이므로, |a_n| = C를 만족하는 n은 최대 하나 존재합니다. 따라서 |b_n|=1을 만족하는 두 자연수 n은 각각 Case 1과 Case 2에서 하나씩 나와야 합니다.

두 자연수를 n_1, n_2라 하고 n_1 + n_2 = 10이라 합시다.

 * n_1에서: a_{n_1} >= 1이고 |a_{2n_1}| = 1

 * n_2에서: a_{n_2} < 1이고 |a_{n_2}| = 1/k

|a_{2n_1}| = a|r|^(2n_1-1) = 1이므로, m > 2n_1인 모든 m에 대해 |a_m| < 1 입니다.

a_{n_2} < 1 조건이 성립하려면 n_2가 특정 값보다 커야 합니다.

 * 만약 r > 0 이면 a_n > 0이므로 a_{n_2} < 1은 n_2 > 2n_1을 의미합니다.

 * 만약 r < 0 이면 a_n의 부호가 교대합니다. a_{n_2} < 1은 n_2가 짝수이거나 (a_{n_2}가 음수), n_2가 홀수이면서 a_{n_2} < 1 (즉 |a_{n_2}| < 1)일 때 성립합니다. 후자의 경우 n_2 > 2n_1-1을 의미합니다. 또한 Case 2의 n_1은 a_{n_1} >= 1을 만족해야 하므로 n_1은 홀수여야 합니다.

이러한 조건들을 만족하는 (a, r, k) 조합을 찾으면 다음과 같은 후보가 나옵니다.

 * r > 0일 때: n_1=2, n_2=8인 경우 a=8, r=1/2, k=16.

 * r > 0일 때: n_1=3, n_2=7인 경우 a=32, r=1/2, k=2.

 * r < 0일 때: n_1=3, n_2=7인 경우 a=32, r=-1/2, k=2.

3. 조건 (나) 분석: a_n > b_n

이제 각 후보에 대해 조건 (나)를 만족하는지 확인합니다.

m은 1 <= n <= 10에서 a_n > b_n을 만족하는 자연수 n의 개수이고, |a_m| = 2/m를 만족해야 합니다.

 * 후보 1: a=8, r=1/2, k=16

   * a_n > b_n을 만족하는 n은 1, 2 두 개입니다. (m=2)

   * |a_m| = |a_2| = 4.

   * 2/m = 2/2 = 1.

   * 4 != 1이므로 이 후보는 답이 아닙니다.

 * 후보 2: a=32, r=1/2, k=2

   * a_n > b_n을 만족하는 n은 1, 2, 3 세 개입니다. (m=3)

   * |a_m| = |a_3| = 8.

   * 2/m = 2/3.

   * 8 != 2/3이므로 이 후보는 답이 아닙니다.

 * 후보 3: a=32, r=-1/2, k=2

   * a_n 수열: 32, -16, 8, -4, 2, -1, 1/2, -1/4, 1/8, -1/32, ...

   * b_n 수열을 계산하고 a_n > b_n인지 확인합니다.

     * n=1: a_1=32(>=1), b_1=1/a_2= -1/16. 32 > -1/16 (O)

     * n=2: a_2=-16(<1), b_2=ka_2= -32. -16 > -32 (O)

     * n=3: a_3=8(>=1), b_3=1/a_6= -1. 8 > -1 (O)

     * n=4: a_4=-4(<1), b_4=ka_4= -8. -4 > -8 (O)

     * n=5: a_5=2(>=1), b_5=1/a_10= -32. 2 > -32 (O)

     * n=6: a_6=-1(<1), b_6=ka_6= -2. -1 > -2 (O)

     * n=7: a_7=1/2(<1), b_7=ka_7= 1. 1/2 > 1 (X)

     * n=8: a_8=-1/4(<1), b_8=ka_8= -1/2. -1/4 > -1/2 (O)

     * n=9: a_9=1/8(<1), b_9=ka_9= 1/4. 1/8 > 1/4 (X)

     * n=10: a_10=-1/32(<1), b_10=ka_10= -1/16. -1/32 > -1/16 (O)

   * a_n > b_n을 만족하는 n은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10으로 총 8개입니다. 따라서 m=8.

   * 조건 |a_m| = 2/m을 확인합니다.

     * |a_8| = |32 * (-1/2)^(8-1)| = |32 * (-1/128)| = |-1/4| = 1/4.

     * 2/m = 2/8 = 1/4.

   * |a_8| = 2/8가 성립하므로, 이 후보가 최종 답입니다.

4. 최종 값 계산

문제에서 요구하는 값은 k - b_k 입니다.

 * k = 2

 * b_k = b_2를 계산해야 합니다.

 * b_2를 계산하기 위해 먼저 a_2를 구합니다.

   * a_2 = 32 * (-1/2)^(2-1) = -16.

 * a_2 = -16 < 1이므로, b_n의 정의에 따라 b_2 = ka_2 입니다.

   * b_2 = 2 * (-16) = -32.

 * 따라서 k - b_k = k - b_2 = 2 - (-32) = 2 + 32 = 34 입니다.

정답: 34