ai에게 미적30 풀려보기
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출시한지 5시간된 epsilon 모의고사의 미적 30번을
제미나이 2.5 pro에게 풀어달라함.
3~4분 정도 생각하고 답을 주었음.
다음은 문제 풀이입니다.
주어진 문제의 조건들을 단계별로 분석하여 f(x)를 찾고 f(6)의 값을 계산해 보겠습니다.
1. 함수 g(x)와 조건 |xg(h(x))| = g(x)h(x) 분석
모든 실수 x에 대해 |xg(h(x))| = g(x)h(x)가 성립합니다. 절댓값의 결과는 항상 0 이상이므로, g(x)h(x) ≥ 0 이어야 합니다.
이제 g(x)의 부호를 각 구간에서 살펴보겠습니다.
* x ≤ 0 인 경우:
g(x) = x(x+2)² 입니다. (x+2)² ≥ 0 이므로 g(x)의 부호는 x의 부호에 따라 결정됩니다.
* x < 0 이면 g(x) < 0 입니다. g(x)h(x) ≥ 0 이 성립하려면 h(x) ≤ 0 이어야 합니다.
* x = 0 또는 x = -2 이면 g(x) = 0 이므로, g(x)h(x) ≥ 0은 항상 성립하며 h(x)에 대한 정보를 주지 않습니다.
* x > 0 인 경우:
g(x) = xe^x|f(x) - 2| 입니다. x > 0, e^x > 0, |f(x)-2| ≥ 0 이므로, 이 구간에서 항상 g(x) ≥ 0 입니다.
g(x)h(x) ≥ 0 이 성립하려면 h(x) ≥ 0 이어야 합니다.
요약하면, h(x)의 부호는 다음과 같습니다.
* h(x) ≤ 0 for x < 0
* h(x) ≥ 0 for x > 0
2. h(x)의 x=0에서의 극한값 분석
문제의 조건 (가)와 (나)를 사용하여 x=0 근방에서 h(x)의 성질을 파악해야 합니다.
* (가) x ≤ 0에서 함수 |h(x)|는 연속이다.
이는 x=0에서 좌극한과 함숫값이 같음을 의미합니다: lim_{x→0⁻} |h(x)| = |h(0)|.
x<0에서 h(x)≤0이므로, |h(x)| = -h(x) 입니다.
따라서, lim_{x→0⁻} (-h(x)) = -h(0⁻) = |h(0)| 입니다.
* (나) lim_{x→0⁻} (|h(x)| - |h(0)|)/x = e⁴ * lim_{x→0⁺} (|h(x)| - |h(0)|)/x
이 등식이 성립하려면 우변의 극한값이 존재해야 합니다. x→0⁺일 때 분모가 0으로 수렴하므로, 분자도 0으로 수렴해야 합니다.
즉, lim_{x→0⁺} |h(x)| = |h(0)| 이어야 합니다.
x>0에서 h(x)≥0이므로 |h(x)|=h(x)입니다.
따라서, lim_{x→0⁺} h(x) = h(0⁺) = |h(0)| 입니다.
정리하면, h(0⁺) = -h(0⁻) = |h(0)| 입니다.
이제 h(0⁻)의 값을 찾아봅시다.
|xg(h(x))| = g(x)h(x) 식에서 x < 0일 때, |x| = -x 이고 g(x) = x(x+2)² 이므로,
-x|g(h(x))| = x(x+2)²h(x)
x ≠ 0 이므로 양변을 x로 나누면,
-|g(h(x))| = (x+2)²h(x)
h(x) ≤ 0 이므로 g(h(x)) = h(x)(h(x)+2)² 입니다. 또한 h(x)가 0에 가까워지면 h(x)(h(x)+2)² ≤ 0 이므로 |g(h(x))| = -g(h(x)) 입니다.
-(-g(h(x))) = (x+2)²h(x)
g(h(x)) = (x+2)²h(x)
h(x)(h(x)+2)² = (x+2)²h(x)
h(x)[(h(x)+2)² - (x+2)²] = 0
따라서 h(x)=0 이거나 (h(x)+2)² = (x+2)² 입니다. 후자의 경우 h(x)+2 = ±(x+2) 이므로, h(x) = x 또는 h(x) = -x-4 입니다.
x → 0⁻ 일 때, h(x)는 h(0⁻)로 수렴해야 합니다.
* h(x) = x 이면 h(0⁻) = 0 입니다.
* h(x) = -x-4 이면 h(0⁻) = -4 입니다.
두 가지 경우를 모두 고려해야 합니다.
* Case 1: h(0⁻) = 0
이 경우 h(0⁺) = -h(0⁻) = 0 이고 |h(0)|=0 이므로 h(0)=0 입니다. 즉, h(x)는 x=0에서 연속입니다.
h(x) = x for x ≤ 0 이므로 좌미분계수 h'(0⁻) = 1 입니다.
조건 (나)에서 |h|'(0⁻) = -h'(0⁻) = -1 이고 |h|'(0⁺) = h'(0⁺) 이므로, -1 = e⁴h'(0⁺) 즉 h'(0⁺) = -e⁻⁴ 입니다.
그런데 h(x) ≥ 0 for x>0 이고 h(0)=0 이므로, h'(0⁺) ≥ 0 이어야 합니다. 이는 h'(0⁺) = -e⁻⁴ < 0 과 모순됩니다. 따라서 이 경우는 불가능합니다.
* Case 2: h(0⁻) = -4
이 경우 h(x)=-x-4 for x<0 (0 근방에서) 입니다.
h(0⁺) = -h(0⁻) = 4 입니다.
|h(0)| = 4 이므로 h(0)는 4 또는 -4 입니다.
3. f(x)에 대한 정보 찾기
x > 0 일 때의 관계식 |x g(h(x))| = g(x)h(x)를 다시 사용합니다.
x|g(h(x))| = g(x)h(x)
x|h(x)e^{h(x)}|f(h(x))-2|| = (xe^x|f(x)-2|)h(x)
h(x)>0이므로 |h(x)e^{h(x)}...| = h(x)e^{h(x)}|...| 입니다. x와 h(x)를 약분하면,
e^{h(x)}|f(h(x))-2| = e^x|f(x)-2|
이 식에 x → 0⁺ 극한을 취합니다. h(x) → h(0⁺) = 4 이므로,
lim_{x→0⁺} e^{h(x)}|f(h(x))-2| = e⁴|f(4)-2|
lim_{x→0⁺} e^x|f(x)-2| = e⁰|f(0)-2| = 1|2-2| = 0
따라서 e⁴|f(4)-2| = 0 이고, e⁴ ≠ 0 이므로 f(4)-2=0, 즉 f(4)=2 입니다.
f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 f(0)=2, f(4)=2 이므로 f(x)-2는 x와 x-4를 인수로 가집니다.
f(x) - 2 = x(x-4)(x-k) 로 놓을 수 있습니다. (k는 나머지 한 근)
f(x) = x(x-4)(x-k) + 2
f'(x) = (x-4)(x-k) + x(x-k) + x(x-4)
f'(0) = (-4)(-k) = 4k
문제에서 f'(0) > 0 이므로 4k > 0, 즉 k > 0 입니다.
이제 e^{h(x)}|f(h(x))-2| = e^x|f(x)-2| 식의 x→0⁺ 근방에서의 계수를 비교하여 k값을 찾습니다.
x→0⁺ 일 때, f(x)-2 ≈ f'(0)x = 4kx 입니다.
h(x)→4 이므로 h(x)=4+δ (여기서 δ→0) 라고 하면, f(h(x))-2 ≈ f'(4)δ = f'(4)(h(x)-4) 입니다.
f'(4) = (4-k)4 = 16-4k 입니다.
원래 식에 이 근사값들을 대입하면,
e^{h(x)}|f'(4)(h(x)-4)| ≈ e^x|4kx|
x→0⁺ 극한을 취하면, h(x)→4, e^x→1 이므로,
e⁴|f'(4)| lim_{x→0⁺}|h(x)-4| ≈ |4k| lim_{x→0⁺}|x|
e⁴|16-4k| |h'(0⁺)| ≈ 4k (∵ k>0, x>0)
조건 (나)에서 |h|'(0⁺)를 구해야 합니다.
h(x)=-x-4 for x<0, |h(x)|=|-x-4|=x+4 (0 근방에서).
|h|'(0⁻) = lim_{x→0⁻} (|h(x)|-|h(0)|)/x = lim_{x→0⁻} (x+4-4)/x = 1.
조건 (나)에 의해 1 = e⁴|h|'(0⁺), 즉 |h|'(0⁺) = e⁻⁴ 입니다.
h(0⁺)=4, |h(0)|=4 이므로 h'(0⁺) = |h|'(0⁺) = e⁻⁴ 입니다.
위의 계수 비교식에 |h'(0⁺)| = e⁻⁴를 대입합니다.
e⁴|16-4k| e⁻⁴ = 4k
|16-4k| = 4k
두 가지 가능성이 있습니다.
* 16-4k = 4k => 16 = 8k => k=2.
* 16-4k = -4k => 16 = 0 (불가능).
따라서 k=2 입니다.
4. f(6) 계산
k=2 이므로 f(x)는 다음과 같이 결정됩니다.
f(x) - 2 = x(x-4)(x-2)
f(x) = x(x-2)(x-4) + 2
이제 f(6)의 값을 계산합니다.
f(6) = 6(6-2)(6-4) + 2
f(6) = 6 * 4 * 2 + 2
f(6) = 48 + 2 = 50
따라서 f(6)의 값은 50입니다.
정답: 50
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