25학년도 사관학교 22번: 가능경우 하나 찍기는 현장에서만

현장 학생이 '되는 경우 하나' 찍어서 맞추면 잘한 건데, 

강사 풀이로 사실상 '그거 하나' 제시만 하고 빈틈투성이 합리화는 하지 맙시다 

'그거 하나' 제시도 풀이의 일부로써 필요하지만, 그게 떠오르지 않아도 논리적으로 푸는 것이 가능함을 동시에 보여주지 못한다면 '나 운좋게 풀었어요'라 광고하는 저급한 풀이가 아닐 수 없다. 아니면 현실적으로 힘든 양의 가정과 경우를 보이며 억지로 답으로 좁히면서, 학생 입장에서 '되는거 하나 잘 찾으세요'를 '사고력 측정'한다는 수학시험 문제풀이에서 느끼게 하는게 맞나 싶다. 

유사한 부등식이 나온 24학년도 수능 22번인데, 여기서 가능한 경우를

1) 정수근 2개: 그 두 정수근은 이웃하며 그보다 작은 정수는 f(정수)<0, 그보다 쿤 정수는 f(정수)>0

2) 이웃한 세 정수근이 있음

이라고 제대로 정리한 것이 아니라, 대충 -1, 0, 1이 근일때 아니네 하고 그럼 근 하나를 문자처리하여 좁혀보자 식으로 사실상 답을 알고 합리화하는 풀이, 그나마 논리적인 척 한다면 '상수확정과 케이스 제거하라고 제시'한 박스아래 f'(0)<0에서 '시작'해서, f(0)의 부호에 따른 경우 노가다 열심히 해서 f(0)=0얻고 남은 양근과 음근의 절댓값과 1의 대소관계를 노가다해서, 상당한 양의 경우들을 쳐내고 억지로 좁혀 찾는 풀이가 있었다. 

다시 사관학교 문제로 돌아와서, 상당수의 풀이가 대충 이렇다. 

(가) h(x)가 f(x)또는 g(x)를 선택하며 교점만에서 환승가능하다. 

(나) 뚫는 근이 존재하여 h(k)*h(k+2)<0인 k가 있다면 유한개 아니므로 h(k)*h(k+2)는 0이상이고, 뚫는 근이 없다는 건 h(x)의 부호가 0될지언정 음양이 바뀌진 않는다. h(k)*h(k+2)가 0되는 k가 있다는 건 h의 근 t가 있으며, 보통 t한개당 h(k)*h(k+2)가 0되는 k=t, t-2로 두개가 나오는데 k가 3개라는 건 두 근이 2만큼 차이나서 (t와 t+2) k가 t-2, t, t+2로 3개된다는 뜻이다. 

이쯤 파악한 다음에 대략 이런 제시와 합리화가 시작된다. 

x가 충분히 크면 f와 g모두 양수이므로 h는 저 두 근 아니면 양수쪽이다. 그러면 0<x<2에서는 h=g>=0이다. f의 근이 0과 2로 2차인데 h도 2차이 근이 2개이므로 대충 (0, 0), (2, 0) 지나면서 그 사이는 3차로 커버하면 되지 않을까? 하고 정답 그림을 제시한다. 저렇게 그려질때 저렇게 선택하면 된단다. 여기서 그럴듯한 '척' 하려고, (논리적, 체계적으로 경우를 분류하는 것이 아닌) 대충 움직여 가면서 이러면 안되겠죠? 하고 저러면 되죠? 하는 경우도 있다. 얼마나 많은 개형 위치관계와 환승 경우가 가능할 줄 알고? 

그나마 가장 그럴듯한 논리가, 0<=x<=2에서 h=g>0이면 x<0에서 g의 음근과 f=g교점이 생길 때 2사분면은 f에서 g로 선택이 잘 되지만 h의 두 근이 2보다 클 때 g의 남은 두 근에서 나와야 하고, g의 두 양근 사이는 g<0인데 h가 근이 있으려면 그 구간을 g로 가야 하므로 안된다는 식이다. 

0<=x<=2에서 항상 h=g>0이지는 않음을 잘 보였으나, 그렇기 때문에 0과 2가 바로 근이 된다고 단정해 놓고 본인이 디테일한 척 하면 책 한권만 읽은 사람과 다를 게 없다. 근이 2차이나서 0과 2가 근이어야 한다고 하지만, 남은 경우들에 대한 추가적인 설명이 더 필요한 풀이이며 여기까지 제시한 풀이는 관측하지 못했다. 수능 22번과 달리 노가다성 합리화조차 관측되지 않는 이유는 사관학교라서 그런 것으로 추정된다. 

(여기서 필요한 추가적인 설명은, 0<x<2의 g근이 있다면 극소여야 하며, 그러면 그보다 2작은 뚫는 음근도 h로 채택해야 하므로 모순. 0과 2중에 근이 있다면 h의 근이 -2와 0, 0과 2, 2와 4중 한 경우이고 여기에서 g의 남은 한 근을 움직여 가면서 가능한 경우를 또 찾아야 하며, 그 남은 한 근은 각각 5가지 경우가 있고 이중에서 두 경우가 가능하다)

그럼 그렇지, 풀이 수준은 변하지 않았다. 이렇게만 푼 풀이로 가르치는 강사는 부끄러운 줄 알자. 

아래 풀이가 유일한 정답 경로는 아니지만, 이정도의 논리성은 갖추어야 한다고 생각한다. 

h에 대한 정보는 h(t)=0=h(t+2)이고 나머지는 h>0, 0<=x<=2에서 h=g뿐이다. (겨우 이거로 개형을 열심히 그린다고...?) t와 t+2일때 x축과의 위치관계는 뚫지 못하므로 극소여야 한다. 

4차함수면 이게 가능할텐데 라는 생각이 든다 (참고: 같은 시험지 공통 20번도, 4차함수면 0과 5에서 공통접선이 가능한데 절댓값 3차(변곡=2, 최고차=1)에선 어떡할래? 였다. 풀이는 0과 5는 절댓값 뒤집힘 여부가 다르고 점이 뒤집히면 접선도 그러하므로, 0에서의 접선 p(x)이면 5에서의 접선 q(x)=-p(x)에서 f(x)-p(x)=x^2(x-a), f(x)+p(x)=(x-5)^2(x-b), 이차계수*(-1)=세근의 합=3*변곡x=6이며 두 식합의 절반=f)

그런데 이건 최대 3차함수이므로, 저 지점에서 함수가 유지되려면 3차의 극소여야 하고, 아니면 환승해야한다. 

i) 1환승 1유지=자체극소: 환승지점은 공통근이므로 g에 의해 극소쪽이 더 큰 근이다. 환승근이 f의 큰 근이면 근보다 약간 작을때 h<0밖에 안되므로 환승근=0, g의 극소쪽 근=2, g(x)=x(x-2)^2이며 0<=x<=2에서 h=g, x<0에서 g<0이므로 h=f로 경우가 제시된다. 

이 경우는 박스아래 정적분 값이 26이 아닌 18+4/3이 나와서 소거된다. (이 경우가 제시되지 않은 풀이도 있었다...)

ii) 2환승: 환승지점은 공통근이므로 0과 2이며, 그 사이 h=g>=0에서 그 사이에 남은 근이 있으면 모순이다. 롤의정리로 극대가 0과 2사이에 있으므로 0이 g의 최소 뚫는근이며, g의 남은 한 근은 2이상인데 2일 때는 했으므로 2보다 큰 근=b만 알면 된다. 이렇게 논리적으로 확정된 g와 f그래프로 위치관계와 h선택을 할 수 있다. g(x)=x(x-2)(x-b), x<0에서 f, 0<x<2에서 g, 2<x<b+1에서 f, 이후는 환승가능성이 있다.  

이 경우 박스아래 h(10)이 80=f(10)이 아니므로 환승미발생은 모순이다. 따라서 x>b+1일땐 g이고 10>b+1이다. 정적분 값은 -3부터 0까지가 18, 0부터 2까지는 8(b-1)/6=8에서 b=7로 h가 범위에 따라 확정된다. 

정적분 계산에서 b=a+1이라 하면 g(x)=x(x-2)(x-1-a)=x(x-1)(x-2)-ax(x-2)에서 앞쪽은 0부터 2까지 정적분이 0이고 뒤쪽은 이차함수와 x축으로 둘러싸인 정적분으로 쉽게 구할 수 있다. 

모래속에서 허우적거리며 가능한 케이스라는 진주 하나를 찾는 것이 아닌, 조건과 가지고 논리적이고 능동적으로 정답을 찾아나가는 풀이가 실전과 사후적 성장 모두에 도움이 된다는 것은 자명하다