이거 컨텐츠 제작자들도 자주 범하는 오류인데
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지수가 유리수면 밑은 양수로 강제됨
(2015 수학1 지학사 p22)
모 강사 수능모의고사 질문들어와서 보는데 저런 미스가 있던데
가령 y^3=x와 y=x^1/3은 정의역이 달라서 다른 함수임
전자는 제1사분면 제3사분면을 지나지만 후자는 제3사분면에 대해서는 고려하면 안됨
꽤 중요한 내용인데 강사나 컨텐츠 제작자들도 실수하는거 보면
안타까움
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저거 논술문제 같은데 어디서 만든거지
저분 얘기를 하려던건 아니고 제가 저걸 한번 지적했는데 딴 강사 실모에서 저런 오류를 봐서 가져온거
생각해보면 수능에서 밑의 조건으로 학생들을 찌른 적이 거의 없어서 검토하는 학생들도 많이 생각 안 해봤으니 검토할 때도 잘 못 잡아 내는듯
로그의 밑 진수조건의 근간이 되는 이유인데 허허
그건 지수함수의 밑이 0 혹은 음수라면 연속적인 정의가 불가능해서 그런 것이지 일부 실수에 대해 정의가 되느냐의 문제와는 상관없지 않습니까? 그리고 그 지수가 정의가능한 실수로 고정돼있고 밑이 정의역인 함수라면 정의역도 실수 전체가 될 수 있구...
함수에서의 밑의 범위에 대한 얘기라면 고교과정에서 그거에 대해 안 다루니 그러는 거지 엄밀히는 틀렸다고 할 수는 없는거라 그걸로 학생들 찌를 순 없음 그냥 고교과정에 맞춰서 평가원도 정의역은 양수라고 문제에서 같이 주겠지
감사합니다
쌤 근데 왜 대스모스에선 이렇게 나와여?!?!?
데스모스가 한국 고등학교 정의에 준해서 그래프를 안그리나보죠
오 유익하네요
쌩 y=x^1/3 은 왜 3사분면 고려안 하나요?
정의역이 음수여도 성립하지 않나요?
-1/8 의 세제곱근은 -1/2 인 것처럼...
n제곱근이랑 1/n승을 섞어쓰지 말란말인데요?
양수일때만 호환이 된다고요
뭐 어쩌라고요
ㄷㄷ 터프남 카의생 기만
교과서에 유리수면 무조건 양수라고 되어있어요?
근데 그랬던거같다 ㅇㅇ..
셀프 만담ㄷ
그런데 윗댓들 보면 왜 3사분면에도 그려지는거임?
x^3=a는 항상 해 하나 가지니깐
그러면 매포메님 말처럼 정의역이 다른건 아닌거아님?
머가 맞는거지
n제곱근은 방정식의 실근이 정의이고
지수의 확장은 밑이 양수여야만 정수가 아닐때 지수법칙이 성립한다고요
엄밀히는 정의역이 다르지 않고 완전히 같은 함수인게 맞습니다만 고교과정 내에선 다루지 않는다는게 요지인 듯 합니다
아 감사합니다.
제가 너무 저능아라 뇌정지 왔습니다
이거 뉴런에서 우진이가 말했던건데
내가 이거 한완수에서 꼼꼼히 공부해서 다 알고 있었음.
근데 대학 와서 x^(1/3)+y^(1/3)=1 그리는 연습문제(astroid)가 있어서 1사분면만 그렸는데 교수님이 뭐라함.
그래서 ^아 내가 더 잘 아네^ 상황인 줄 알고 설전 벌였다가
내가 틀린 걸로 결론 남
정말 고등학교 한정인 듯..
교수님 왈 지수가 홀수 분모를 가지면 밑이 음수도 가능하다
맞음
제가 알기로 지수의 확장에서
유리수 범위부터 밑을 양수로 제한하는 이유가
분수의 특징 중에서 1/5=2/10=4/20 •••
이런 이유로 알고 있는데
대학수학은 다른가 보네요
분모의 홀짝에 따라 유리수 지수 사용 여부가 결정되는 건가요?
근데 그러면 위에 써놓은 논리대로 양변에 2배수를 곱하면 홀수 분모가 짝수 분모가 되기도 해서리...
지수표현의 해석상의 의미 때문에 함수로서는 정의역이 달라져서 다른 것이 됨
그러면 고등수학에서는
1/3제곱은 음수 밑 허용가능
2/6제곱은 음수 밑 허용불가
약간 이런 특성 때문에 메포매님 말대로 헷갈리지 말라고 아예 음수 밑 ㄴㄴ혓이라고 못박아 둔 건가요?
ㄴㄴ 그런 특성 때문에 고등학교에선 그냥 음수 밑을 안다루니까 고교과정에선 음수 밑일 때를 생각하지 말라는거
감사하옵니다
a^(m/n)=n제곱근(a^m) 이라는 식만 밑인 a가 양수여야 하는게 강제되는거고
정의 자체는 지수가 정수가 아닌 유리수여도 분모가 홀수고 0보다 크다면 모든 실수의 밑에 대해서 정의됨 그래서 y=x^1/3승도 정의역 모든 실수 맞음
밑의 정의역이 제한되는 지수는 다음의 경우임
지수가 유리수지만 분모가 짝수일 경우 밑이 0 이상일 때만 정의됨
지수가 무리수인경우 로그의 진수조건에 따라 밑이 0보다 클 때만 정의됨
지수가 정수 혹은 분모가 짝수인 유리수더라도 0보다 작거나 같을 경우 밑이 0일 때 정의 안됨
그러나 지수가 정수가 아닌 유리수라 하더라도 분모가 홀수고 0보다 크다면 모든 실수 정의, 음의 유리수라면 0일 때만 정의 안됨.
다만 지수가 정의역일 때, 그러니까 지수함수에 대해서 y=a^x일 때 a는 무조건 양수여야 하는거고
1/3=2/6인 문제가 있어서 지수법칙이 성립하지 않고 그래서 고교범위 내에서는 음수는 생각하지 않는게 맞습니다.
오일러 등식 생각해보면 지수가 복소수일 때 다른 담론을 할 수 있지만, 그건 정의가 확장된거죠.
교과서에 저렇게 못박혀있으니 수능 컨텐츠에서 저걸 쓰는건 잘못됐고
대학교 연습문제에 저게 맞으니 상관없다는 적절한 반례도 아닙니다
그렇군요. 그런데 저는 대학교 연습문제 얘기는 꺼내지 않았을 뿐더러 상관없다와 같은 주장은 한 적이 없습니다. 다만 수학적으로 뭐가 진짜 맞는지를 따지고자 한 거죠. 그래서 그와 별개로 수학적으로만 따지자면 y^3=x와 y=3제곱근x는 완전히 동등한 함수고 y=x^1/3일 때와 y=x^2/6일 때가 의미가 달라져 아예 정의역이 다른 함수가 되는 거죠. 지수의 분모가 홀수냐 짝수냐에 따라 음수에 대한 정의 여부가 달라지니까요
그런데 오일러등식과 지수가 복소수일 때 이야기는 이것과 어떤 관련이 있는지요?
원래 밑이 지수함수의 치역은 양의 실수라 하는데
이는 원래 함수의 정의역이 실수일 때에만 고려를 해서 생긴 담론이죠
e^ipi=-1이라는 등식은 지수의 확장을 한번 더 했다는 뜻으로 한말입니다
그리고 1/3과 2/6은 등식으로 묶이므로(초등학교때 가르치죠) 같은 것이라 이게 다르다고 하기 힘들죠.
그래서 고등학교 교과서에서 저런 혼란을 생각하지 말라고 밑을 양수로 못박은거고
수시논술, 수능컨텐츠에 저런거 고려 안해서 오류를 범하는 경우가 많다는게 원문입니다
진짜 수학적으로 어쩌냐는 사실 본문과 저의 관심사가 아닙니다 대입에서 어떻게 다루냐가 관심사지
애초에 계산기에 (-2)^6/5 이런거돌리면 복소수나옴