[칼럼] 그래프... 좋아하세요?
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역사상 유일했고, 다신 없을
이과보다 어려운 문과 시험지
17년 9월 모의평가
30번과 함께 그 원흉 중 하나인 21번
지오제브라를 활용하시어
그래프를 통해 어떻게든 문돌이들을 납득시키려는 노력이 9년이 지난 지금도 느껴지는데
저는 안타깝게도 지오제브라를 쓸 줄 몰라
좀 다른 그래프를 도입해서 풀어볼까 합니다
문제의 상황을 보면 우리가 대소를 비교해야 하는 두 식이 정확히 같은 인수를 공유하고 있음을 알 수 있습니다
이때 인수가 같다면 대소비교에서 나눠버리는게 식을 간단히 할 수 있고
마침 P가 실수 전체에 대해서 0 이상이라 부등호의 방향도 변하지 않으니 아예 나눠버립시다
그러면 h는 결국 일차식에서 부호가 바뀌는 형태로 표현되어 1과 비교하기 쉬운 형태가 됐네요
안 되는 케이스 미리 쳐내고
뭔가 주절주절 써놨는데 결국은
h가 1을 통과하는 상황에서는 h의 기울기가 0이 되어 삼중근을 갖는 삼차함수마냥 매끄럽게 통과해야 하는데
h는 일차식의 일부이니 그러한 경우는 절대 있을 수 없다
가 되겠습니다
그러면 h<=1이어야 하고
Q=x-3에서도 h가 1을 통과하는 경우는 없으니까 1 이상이려면 구간 전체에서 h>=1이어야 하는데
그런 동시에 g가 미분가능할 수 없기에 결국 이 경우에도 h<=1입니다
두 상황을 좀 더 시각적으로 표현하면
이렇게 되어서 Q=x-3일 때가 최대임을 더욱 직관적으로 알 수 있습니다
결국 이 문제에서 가장 중요한 것은
두 식의 대소를 비교할 때 어떤 조작을 가해야 상황을 편하게 파악할 수 있을까
이 문제에서는 두 식이 서로 같은 인수를 공유하니 아예 나눠서 없애버리면 상황이 더 잘 보이지 않을까
와 같은 고민을 할 수 있느냐라고 생각합니다
그래프를 그리더라도 우리가 시험지면에 지오지브라를 띄워둘 수는 없는 노릇이기에
종이 위에 우리가 그릴 수 있는 형태로 최대한 상황을 풀어서 나타내는 것이 중요하다고 생각됩니다
결론)
지오제브라 없어도
식 조작만 잘 하면
그래프로 풀린다
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조은글 감사합니다
결국 난도가 높아질수록 기하와 식 사이의 유연한 선택이 중요해지는 것 같긴 함요
미적도 201120같은게 그런 점에서 비슷한듯도
특히나 수능에선 더더욱 중요한 것이 기하적으로 해석하지 않고 식으로만 밀면 굉장히 곤란해지는 상황이 왕왕 출제되기에
이때 현장에서 30번 틀리고 나형96이었는데 문제를 보니 또 옛날 생각이 나네요 21번 저거 지금 봐도 난이도 상당하네
30번 전설의 사각형 빙글빙글…
진짜 저 시험지 무슨 생각으로 냈을까요
....? 몇학번이세요? 저게 거의 10년된 문제인거 같은데?
와 이걸 일차로 쪼개네
오르비식 표현으로 제법 맛있게 풀수있달까
맛없는 문제를요
근데 저렇게 바꿔서 생각하는 발상이나 아이디어가
현장에서 쉬울까 싶네요 아마 이과도 좀 막힐텐데
레오님은 어떻게 장착하신건지....
약간 발상법이 습관이 되어야 현장에서도 나올거 같거든요
저도 뭐 이과출신이라 저 문제 현장에서 푼 적 없고, 초견 풀이로 저러기도 힘들 거 같은데
기출 풀면서 항상 생각해보는거죠
내 풀이 좀 짜치는데? 좀 더 말끔한 풀이 없나? 이렇게요
혹시 올림피아드나 뭐 이런 수학쪽으로 파보신 적 있었나요?
없습니다…
그냥 쎈 풀고 기출풀고 모의고사 풀고
요새 본고사 건드리다보니 저런 사고가 좀 트이는 거 같네요
경기고 Latte들에게 동경대랑 교토대가 진국이라 들었습니다
내선일체로 본고사보던 시절…
근데 본고사는 되게 웃긴 점이 학교 급간이랑 문제 수준이 비례를 안 합니다
가끔 어디 잡대에서 별 희안한 거 쾅 박아서 애들 제초하더군요
본고사 시절 서울대가 가졌던 변태부심이 “우리가 전국에서 제일 어려워야한다”였다고 하더군요 ㅋㅋㅋㅋ
사실 높은 급간 변별하려면 어려워야 하는게 맞긴 한데(동대랑 동경공대 둘 다 시간은 150분인데 동대는 6문제 동공은 4문제 풉니다)
그런 서울대가 지금은 참 ㅋㅋ….
이거 진짜어려운데 오래된문제라그런지 언급이안됨...
ㄹㅇ 지금 22번에 박아도 헉소리 날 문제
해설에서조차 대부분 ^0 2 3 미분계수딸깍^ 하고 끝내니 언급없는게 더한듯
사실 이런 문제에서 왜 이건 되고 이건 안 되는지 생각해보는게 중요한데 말이죠
처음 볼때는 에이 쉽네 했다가
진짜 지옥을 맛보았습니다
솔직히 현장에서 가장 잘 대처하는 법은 아래쪽일거야 손가락 걸고 4/3 나오면 2번 체크하고 넘기는게 아닐까 싶네요
깔끔한 풀이 감사합니다 ㅎㅎ
좋게 봐주시니 감사할 따름입니다
현장에서 풀때 ㄹㅇ 30분내내 다 계산해서 푼 기억이.. 진짜 깔끔하네요 풀이 ㄷㄷ
현장에서 맞히셨다니 훌륭하십니다 어르신
사실 슬램덩크 안 봄
쳇
이렇게 범위 나누는 게 맞나요? 함수 두개 빼서 범위 나눈다 라는 발상이 떠오르는 데 생각보다 너무 오래 걸리네요
혹시 조금만 더 정리해서 올려주실 수 있을까요…
구석진 곳에 써서 죄성합니다
정리한 게 너무 싸가지 없어 보여서 직접 덧붙이겠습니다
식을 크게 두가지로 나눴습니다
범위에 따라 변화하는 절댓값 함수의 부호를 고려하여 사차함수에 빼준 뒤 <=0이라는 식을 만족시키는 가장 작은 사차함수의 계수를 각각 찾아주고 x에 1을 넣어 가장 큰 값을 골랐습니다
제가 말한 내용외의 경우는 고려하지 않았는 데 혹시 더 고려해야할 경우의 수가 있었는 데 그냥 운좋게 맞힌건가요?
x=0, 2, 3에서 함수가 매끄럽게 미분가능할 가능성을 따져보지 않은 거 같습니다
물론 그런 본문에 언급했듯 경우는 없지만요
무의식적으로 그냥 넘어가버렸네요 알려주셔서 감사합니다!
저는 풀 때 함수 두 케이스로 쪼개고 f'(0)<=6이면서 케이스마다 f'(2)또는 f'(3)이 -1보다 크고 0보다 작겠구나라고 생각했습니다