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ultraleo [849815] · MS 2018 · 쪽지

2025-07-09 20:44:01
조회수 10,289

[칼럼] 평면을 못 하니까 공간도 못 하지

게시글 주소: https://orbi.kr/00073772058


7월 모의고사를 앞두고 공간 기하 글을 여태 하나도 안 써서 써보는


20년 수능 27번



주관식 4점의 초입인 27번치고는


상당한 계산량으로 인해 당황했을 수 있습니다


상황이 복잡한 건 아닌데 말이죠




문제를 들어가기에 앞서


좌표 공간의 도형을 해석하는 데에 있어 가장 먼저 정립해야 하는 태도가 있습니다


바로


공간을 연속된 평면으로 보는 태도입니다


무슨 말이냐


먼저 기하에는 두 요소가 있습니다


'길이'와 '각'입니다


여기서 길이는 공간으로 가더라도 그 값을 구하는 것이 별로 어렵지 않습니다


지금까지 해왔던 대로 피타고라스의 정리를 응용하면 공식 딸깍으로 값을 구할 수 있기 때문이지요


그러면 각은 어떨까요


평면과 평면 사이의 각에 대해서는 기본적으로 두 평면이 무수히 많은 직선으로 구성되어 있기에


그 직선들 사이에서 무수히 많은 각을 생각할 수 있으므로 두 평면 사이의 각이 무엇인지부터 정의해야 합니다



이렇게 두 평면의 교점과 그 교점에 대해서 수직인 두 반직선 사이의 각을 두 평면 사이의 각이라고 새로 정의하죠


그러면 바로 직전에 교과서에서 언급되는 삼수선의 정리가 왜 등장했는지 감이 오실겁니다



저 세 수선 중 직선 l과 반직선 PH를 포함하는 평면은 평면의 결정 조건에 따라서 단 하나만 존재하고


그렇다면 그 평면과 바닥에 깔린 평면 alpha 사이의 각은


반직선 PH와 OH 사이의 각과 같다는 것을 알 수 있습니다


따라서 우리가 두 평면 사이의 각을 알기 위해서는 반드시 삼수선의 정리를 이용할 수밖에 없습니다




그런데 저 삼수선의 정리를 이용하면 두 평면의 각이 두 반직선 사이의 각과 같다고 했죠?


그러면 결국 두 평면 사이의 각은 두 반직선을 포함하는 평면에서 관찰한 두 반직선 사이의 각과 같네요?


이게 바로 공간을 평면으로 보는 관점 중 첫번째이고, 가장 기본적인 태도입니다




그러면 두번째 관점은 무어냐?


저 첫번째 관점에 따라 반직선 PH와 OH를 모두 포함하는 평면에서 보면 직선 l은 점으로 보일 것입니다


이렇게 공간을 평면으로 관찰하는 관점에서는 직선이 그대로 직선으로 보이거나, 점으로 보이게 됩니다


그렇다면 삼수선 정리의 상황에 대해서 점으로 볼 수 있는 또 다른 직선이 있지 않을까요?


PH와 OH는 두 반직선 사이의 각을 구해야 하므로 제외


그렇다면 PO를 점으로 보는 평면, 즉, 평면 alpha에서 공간의 상황을 관찰할 수 있을 것입니다


이 문제는 이 두번째 관점으로 접근해봅시다

AMN과 PAM 사이의 각이 제일 중요하니까


P에서 수선을 내리고 교선에 해당하는 AM에 그은 두 수선 사이의 각을 알아야 합니다


그렇다면 이때 P에서 내린 수선이 위의 삼수선 정리 그림에서 나온 PO에 해당할 거고


그러면 위의 화살표 방향에서 상황을 관찰하게 되겠죠


그러면 이 상황을



이렇게 볼 수 있겠네요


삼수선의 정리에 따라 그인 두 수선 PQ와 QH는 P가 원래 B였으니 자연스럽게 BQ와 HQ의 관계에 대응하고


그렇다면 두 평면 사이의 각의 cos 값은 AMN과 PAM이든 PAM과 AMN이든 관계가 없으니


AMN과 PAM 사이의 각의 cos 값은 PAM과 PAM의 정사영 사이의 비율과 같겠네요?


그럼 다음과 같은 논의를 전개할 수 있습니다



이렇게 공간의 문제를 평면의 문제로 치환하면


평면 기하의 실력에 따라 얼마든지 문제를 편하게 접근할 수 있습니다




결론)

평면을

못하는데

공간을 잘할리가

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ultraleo [849815]

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