6모 미적 28번 과조건에 대하여: 삼중근 인수 없이

Question

미분 두번해서 푸는 걸 의도했을 것이라는 사견을 서두에 밝힙니다.

라 하고, f(x)는 미분가능만 알고 있다고 하자. g(x)는 입출력의 부호가(0마저) 보존된다. (가)조건은

이다. f(c)=0인 c가 열린구간 (-3, 3)에서 있다. f(c)=0이면 h(c)=0이며 A(c)=B(c)이므로 c는 곡선 y=A(x)와 곡선 y=B(x)의 교점의 x좌표이다. g'(x)=5x^4+3x^2에서 0일때 0, 아니면 앙수이고,

에 x=c를 대입하면 h'(c)=g'(0)f'(c)=0이므로 A'(c)=B'(c)=a이다. 따라서 c는 곡선 y=A(x)와 곡선 y=B(x)의 접점의 x좌표이다.

문제의 목표는 y=B(x)를 결정하는 것이고, 이는 곡선 y=A(x)의 접선 중 하나이며, 접점이 c라는 것을 알았다. 그런데 대부분의 접선은 접점 말고 (뚫는)교점을 하나 더 가진다. 즉 A(d)-B(d)=0=h(d)인 d가 많은 경우에 존재한다. h(d)=g(f(d))=0이면 f(d)=0이어야 한다. 여기서 f(c)=0이면 h(c)=0, h(d)=0이면 f(d)=0임을 파악했다면 f의 근과 h의 근은 필요충분조건임을 알 수 있다.

이제 x=d를 h'에 대입하면, h'(d)=g'(0)f'(d)=0이므로 A'(d)=B'(d)=a이다. 따라서 d도 곡선 y=A(x)와 곡선 y=B(x)의 접점의 x좌표가 된다. 즉, 뚫는 교점이 존재해서는 안 된다. 곡선 y=A(x)의 개형에 의해, 접선이 그 접점 이외의 교점을 가지지 않으려면 변곡점(x=1 또는 -2)에서의 접선이거나 극소(x=-1/2)에서의 접선이어야 한다.

남은 (나)조건 f'(2)>0은 h'식에 x=2를 대입하여 이용한다. 아까 f와 h근의 필요충분조건에 의해 h(2)가 0이 아니므로 f(2)도 0이 아니고 g'(f(2))는 양수이다. 따라서 h'(2)=g'(f(2))f'(2)도 양수이므로 A'(2)-B'(2)>0, 따라서 y=B(x)의 기울기는 y=A(x)의 x=2에서의 접선의 기울기보다 작다. 따라서 y=B(x)는 x=1에서의 접선일 수 없다.

또한 (나)조건 f(-3)f(3)<0에서, h(x)값의 부호는 f(x)의 부호를 따라가며 0이 아니므로 h(-3)h(3)<0이다. h의 부호는 A(x)와 B(x)중에서 곡선이 위에 있으면 + 아래면 - 이므로, x=-3과 x=3에서 곡선과 직선의 위아래가 반대라는 뜻이다. y=B(x)가 x=1/2에서의 접선이면 곡선이 항상 직선보다 위에 있으므로 안 된다.

따라서 조건을 만족시키는 y=B(x)는 곡선 y=A(x)의 x=-2에서의 접선이다.

쓰다 보니 길어졌는데, h(x)=g(f(x))=A(x)-B(x), h'(x)=g'(f(x))f'(x)=A'(x)-a에 f의 근 x=c를 대입하여 관찰해서 y=B(x)가 접선 중 하나라고 해석한 것처럼, 접선의 다른 뚫는 교점 x=d(=h의 근)를 가정하고 대입하여 관찰했(더니 그런 건 없었)다고 생각하면 됩니다.

'지루하고 현학적임' vs '두번 미분 딸깍'인 느낌이라서, 출제자가 일부러 과조건을 준 게 아닌가 싶습니다.

응가싸 · Accepted Answer

님 천재임?

질문하는사람 · Answer

와우 궁금증이 완벽히 해결됐습니다

아카네 리제 · Answer

와 정말 좋은 풀이네요 배워갑니다

철맨 · Answer

와 진짜 감사합니다

6모 미적 28번 과조건에 대하여: 삼중근 인수 없이

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