2026年 5月 기하 28, 29, 30 Solution

5월 8일에 시행된 25학년도 5월 전국연합학력평가 수학의 난이도는 작년 수능과 비슷하거나 낮은 편으로, 자신을 믿고 계산으로 밀고 나가면 되는 문항과 (10번), 케이스를 따져야 하는 문항(15번)로 난이도를 유지하였고, 13번의 경우 x=3에서 기울기가 1인 상황임을 곧바로 인지하였다면 차의함수로 깔끔하게 해결 가능한 문항도 있었습니다.

기하 문항도 공통 영역과 난이도는 비슷한 편으로 28번의 경우 간단한 대칭이동 아이디어와 이차곡선의 정의를 연상하여 세팅의 특수함을 인지하는 것이 핵심이었으며, 29번은 직각의 등장 조건에 민감하게 반응하셨다면 수월하게 해결하실 수 있으셨을 것이며, 30번의 경우 GA+GB=2GM으로 중점벡터를 잡으면 편해지는 상황을 만들 수 있는 문항이었습니다. 전체적으로 발상적인 풀이를 요구하지 않지만, 반대로 숙련된 훈련을 통해 당위적으로 나오는 논리들을 빠르게 전개해나가야 다음 단계로 넘어가는 문항이 많아 기출/교사관/사설 등 경험이 많이 쌓일수록 시험지를 푸는데 걸리는 시간이 상당히 많이 단축되었을 듯한 문항들이었습니다.

28. #타원의 정의요소 #주어진 기하상황의 특수성 #이차곡선의 접선 #주어진 숫자의 특수성 #대칭이동 아이디어

1. 대칭이동 아이디어 -> FB=F'A임을 인지하고 삼각형 OBF를 움푹 떠서 AOF'으로 옮겨 생각합니다

2. 대칭이동 아이디어 & 식 돌리기 -> FB=F'A임을 이용해 주어진 조건식을 AF'+FP0+P0A로 생각합니다.

3. 타원의 방정식 추출하기 - > 초점 c=1, 단축의 반 b=루트5 즉 a=루트 6이고 E : x^2/6 + y^2/5 =1 이 됨을 알 수 있습니다. 또한 P0F' + P0F = 2루트6이 됨을 알 수 있습니다.

3. 주어진 길이에 주목하기 -> 초점 c=1, 단축의 반 b=루트5, 그림을 그려보니 P0가 타원의 두 초점과 이어져 F'AP0가 한 직선 위에 있으면 타원의 정의요소 중 장축의 길이가 2루트6, a=루트6으로 c^2=a^2-b^2을 만족하는 상태임을 추론합니다. 

*이때, 만약 F' A P0가 한 직선 위에 있지 않을 수도 있지 않을까 하는 의문이 들 수 있습니다. 삼각형의 조건에 의해, 만약 아래 그림처럼 A가 일직선 위에 있지 않으면 P0F' < AF' + AP0 이고, P0F' + P0F = 2루트 6 < AF' + AP0 + P0F가 되기에, 조건의 2루트6을 만족할 수 없게 됩니다.

4. 이차곡선의 "방정식" -> P0의 좌표를 (a,b) 로 잡고 P가 타원 위의 점이라는 정보로 방정식에 대입하여 관계식을 얻습니다.

5. "넓이가 최대가 되는 경우"-> 밑변이 일정하니 높이를 최대한 당겨봅니다. 직선 AF와 P0에서의 접선이 평행한 경우가 삼각형 AFP0의 높이가 최대가 될 때임을 파악합니다.

6. 접선의 기울기가 AF 기울기와 동일함을 연산하여 관계식을 구합니다.

7. 4에서 얻은 관계식과 6에서 얻은 관계식을 연립하여 a=3/2, b= 5/2루트2 를 얻습니다.

29. #이차곡선의 정의요소 #직각삼각형의 생성조건

30. #중점벡터 #특수각의 등장 #모르는거=미지수로

#29

1. 직각삼각형의 등장조건 생각하기 -> 원의 지름을 베이스로 한 직각삼각형이 등장하는 이미지를 연상하여 각 FPF'=90'임을 얻습니다.

2. 주어진 길이 이용하기 -> 원의 반지름이 5이고, 각 FPF'이 90'원주각이라는 점에서 QF'이 지름임을 추론합니다.

3. 주어진 조건 이용하기 -> F'Q : FQ = 5 : 3에서 FQ=6을 얻습니다.

4. 이차곡선의 정의요소 이용하기 -> 쌍곡선의 주축 길이 = F'Q-FQ=4를 얻습니다.

5. 이착곡선의 정의요소 + 피타고라스 - > PF=s로 두면 정의요소에 의해 F'P=s+4가 되고, 삼각형 F'PQ에서 피타고라스 정리, 혹은 6 8 10의 피타고라스 수를 연상하여 s=2를 얻습니다.

6. FF'=2c이니 다시 피타고라스로 삼각형 F'PF에서 c^2=10을 얻습니다.

#30

1. 중점벡터 잡기 -> Let GA+GC=2GM으로 정리합니다.

2. G의 자취 추론하기 -> G는 선분 EF를 1:2로 내분하면서, 선분 EF가 미끄러지며 이동할 때 이미지와 같은 자취를 남기게 됩니다.

3. G1, G2 찾기 -> 자명하게 최소가 되는 G2는 M에서 G의 자취에 내린 수선의 발이 되고, 최대는 가장 멀리 떨어진 자취의 끝이 G1이 되겠습니다.

4. 주어진 길이 조건 이용하기 + 모르는거 = 미지수로 -> G1M : G2M = 루트 13 : 1에서 G1M = 루트13 l, G2M = l , G1G2 = 루트 12 l로 둡니다. 

5. 문제에서 주어진 길이 비 이용하기. -> M은 중점이기에 직사각형의 세로 길이를 1:1로 내분하는 위치에 있을 것이고, G는 선분 EF를 1:2로 내분하는 점이고, 높이도 1:2로 내분하는 위치에 있을 것입니다. 2와 3의 최소공약수 6으로 비를 잡으면 AB = 6l을 얻을 수 있습니다.

6. AD=8루트3 수치 이용하기 -> DD' = 2l, G1D'=2l/루트3 이고, G2D'은 가로길이의 반 4루트3임을 이용해 l=3/2를 얻습니다.

7. 삼각형의 넓이 계산하기. -> G1G2를 밑변으로 잡으면, 높이는 4l임을 바로 얻을 수 있고, 계산을 통해 S를 얻습니다.

총평으로 기하에서 참신함을 준 문항은 28번으로, 대칭이동 아이디어와 점 A의 위치를 확정하는 과정이 마음에 들었습니다. 계산을 많이 요구하는 문항은 없지만, 도입부에서 언급하였듯이 숙련된 훈련을 통해 당위적으로 나오는 논리들을 빠르게 전개해나가는 속도를 요구한 문항들이었습니다.

이번 5월 모의고사는 출제범위가 제한되어 있는 만큼, 기하의 정수인 공간도형 등 충분한 내용을 묻지 못하였지만 그래도 이차곡선과 평면벡터의 연산의 연마 정도를 측정할 수 있는 문항들로 구성되었습니다. 평면벡터와 이차곡선의 정의요소 주제를 메인으로 타원, 쌍곡선에 녹여낸 문항들로, 평가원, 교/사관 기출에서 벗어나지 않는 전형적인 문항들로 구성되었습니다. 

오늘 하루도 모두들 수고하셨습니다 :) 

긴 글 읽어주셔서 정말 감사드려요!